高速公路宏观动态交通流模型的FPGA仿真实现

高速公路宏观动态交通流模型以交通流的集总行为为研究对象，描述了交通流的空间分布及随时间变化的规律，能较精确地描述高速公路交通流的真实行为，不仅是交通自动控制系统设计、分析、仿真决策的基础，也是交通预报和评价某些交通设施设计所需要的。其中，希腊学者Markos Papageorgiou所提出的Papageorgiou模型，能够以较小的计算量和满意的精度描述车道数目单一、出入匝道无特大流量冲击的高速公路交通状况而广泛应用。

对交通流模型进行在线仿真，或验证某算法对实际道路的控制效果时，有时由于交通数据庞大或控制算法过于复杂，往往消耗大量机时。尤其在外场环境下操作，工控机不仅体积、功耗庞大，还易出现工作失常的现象，在交通控制的实际应用中表现欠佳。FPGA技术高速、低成本、小型化的优势使其理论研究与实际应用成为炙手可热的研究课题，目前已经完全具备数据运算、信息处理、滤波计算等功能，常常使一些原来比较难解决的技术瓶颈得以轻松实现，从而使产品的可移植性增强，开发周期大为缩短，性价比大幅提高，同时FPGA可以实现纯硬件浮点运算功能，克服定点数据对高精度、数据范围较大的运算无能为力的缺陷，更适合科学与工程计算。因此本文采用浮点数在FPGA上实现Papa georgiou模型的仿真。

1 高速公路交通流宏观动态模型

宏观动态交通流模型又称为交通流连续介质模型，它通过对单向运动的交通流在某时刻t在某一位置x的有关变量来把握交通的本质。各研究组织所提出多种形式交通流模型，其间主要差别在于交通流量、车辆平均速度和车流密度的关系的表征，以及上下游交通相互作用的描述形式。为了简化模型使其便于应用在实际中，通常根据高速公路几何形状和交通状态将其划分成若干路段，路段可不等距划分，但应保证每段路段车道数目相同，至多有一个入口、一个出口，每个路段的几何形状大致相似，每个路段内的交通状态近似均一，Papageorgiou模型也采用如图1所示的分段方式：

基于上述高速公路的分段方式，其数学表达式如式(1)～(4)所示：

式(1)～(4)分别是动态流量模型、动态交通流密度模型、动态速度模型和速一密关系模型，各符号含义见文献。上述模型涉及到了加减乘除及幂运算，目前Quartus II中有公开的浮点数运算IP核可实现加减乘除运算，但式(4)中出现有底数、指数可能均为浮点数的幂运算。本文根据所选参数进行多项式拟合，将所有运算均限定在加减乘除的浮点数运算范围内。

2 16位自定义浮点数数据格式

Quartus II软件自带的IP核的输入输出数据采用IEEE754单精度32位浮点数格式，其数据结构表示如下：

其中S为1位符号位，E为8位阶码位，M为尾数的24位小数位。调用QuartusII浮点数运算IP核实现加减乘除的操作，其资源消耗依次为加减运算消耗LE单元个数均为1 497，消耗嵌入式乘法器个数均为0：乘除运算消耗LE单元个数分别为809、3345，消耗嵌入式乘法器个数分别为0、7。对一个路段进行仿真时，至少需要6次加法、7次减法、12次乘法、4次除法，仅实现加减乘除运算所消耗FPGA逻辑资源已蔚为壮观，若要仿真多个路段，将付出巨大的硬件成本，甚至无法实现，因此本文在IEEE754浮点数格式的基础上采用自定义16位浮点数格式，编写浮点运算模块，尽量减少FPGA资源的消耗，其数据结构为：

其中S为1位符号位，E为6位阶码位，M为尾数的9位小数位，隐藏整数位1，其表示的数据值下式所示：

上式中，当S为0时，A为正数，当S为1时，A为负数;E-31为浮点数的指数，指数可在2-31到231之间变化;尾数采用原码表示，整数部分1为缺省值，不在上述格式中表示;0在上述格式中，阶码和尾数均为0，符号位可以是任意值。为方便说明自定义浮点数的运算过程，设有两个浮点数是a和b，其数据格式如式(6)所示。

2.1 自定义16位浮点数加法和减法运算

浮点数加、减法的操作过程相似，流程图如图2所示。

1)对阶操作：在两数尾数的小数部分的高位补1，比较两数的阶码是否相同。若相同，直接进入第2)步;若不同，比较两个数的阶码大小，令阶码小的尾数连同高位补的1向右移位，右移的尾数等于阶差的绝对值;

2)符号位操作：加法运算，若两数符号相同，则符号位同两加数;若两加数符号相异，符号位由绝对值较大的加数决定。减法运算，被减数和减数的符号相异，则两数的绝对值相加;两数符号相同，则两数相减再取绝对值。结果的符号位取被减数的符号位(当被减数的绝对值较大时)或者是减数的符号位取反(当减数的绝对值较大时);

3)归一化操作：若步骤1)和2)所得结果为非规格化数，找出运算结果的最高位1，由高至低依次将其后部分存入最终结果，阶码做相应的调整。

2.2 自定义16位浮点数乘法和除法运算

浮点数的乘法运算按照以下步骤进行，其算法流程图如图3所示。

1)判0操作：乘法运算，检查两乘数是否有0，若有，结果为0。除法运算，检查被除数是否为0，若为0，结果为0。

2)符号位操作：对两数的符号位进行异或操作，确定结果的符号位。

3)阶码操作：乘法运算，乘积的阶码是(Ea+Eb-31+修正项);除法运算，商的阶码是(Ea-Eb+31+修正项)。修正项的值由4)中非规格化数调整为规格化数进行的移位个数决定。

4)尾数操作：乘法运算，两乘数尾数的小数部分的高位补1后相乘，得到乘积的20位初始尾数d;除法运算，被除数和除数尾数的小数部分的高位均补1，对1.Ma和1.Mb进行相除操作，令d=1.Ma÷1.Mb，采用移位相减，先比较1.Ma和1.Mb大小，若1.Ma≥1.Mb，则d为1，且令1.Ma=1.Ma-l.Mb;若1.Ma1.Mb，则d为0，且令1.Ma左移一位再次进行比较得到d，依次重复上述比较过程最终得到商的初始尾数d。

5)归一化操作：乘法运算，d[19]、d[18]不同时为0，若d[19]为0，即乘积的整数为01，则乘积尾数的小数部分为d[17：9]，修正项为0;若d[19]为1，即乘积的整数为10或11，则将初始尾数右移一位，同时乘积指数加1，修正项为1，乘积尾数小数部分为d[18：10]。除法运算，d[9]和d[8]不会同时为0，若d[9]不为0，商的商的初始尾数的整数为1，尾数小数部分为d[8：0];若d[19]为0，商的初始尾数的整数为0，则将初始尾数左移一位，同时商的阶码减1，修正项为-1，商的尾数小数部分为d[7：0]并在低位补0。

将上述操作结束后得到的符号位、阶码位、尾数的小数部分按照自定义浮点数格式进行排列，得到最终的结果。

3 自定义浮点数运算的仿真机综合分析

为了验证本文中自定义浮点数运算模块的正确性及其误差大小，且考虑到仿真模型中的变量都为正的浮点数，这里以实数7.8和5.6为例，分别将其变换为本文中自定义的浮点数格式，在自行开发的以EP3C80E484C型号为核心的FPGA上运行，并通过QuartusⅡ软件中自带的debug工具软件查看其运算结果，其中加减乘除运算的部分结果如图4所示。

为了验证FPGA实际运算结果的正确性，将上述浮点数格式的结果转换成十进制格式，并进行系统误差对比，如表2所示。

由表2的对比结果可知，在FPGA运行的16位自定义数据格式的加、减、乘、除运算模块的计算误差不超过0.1%，能够满足宏观交通流模型的仿真中对计算精度的要求。此外，在保证模型仿真精度的同时，自定义16位数据格式的加、减、乘、除运算模块与Quartus II软件公开的32位浮点数运算IP核相比，能够显著降低对FPGA资源的消耗，其资源对比如表3所示。

4 模型仿真及综合分析

基于自定义浮点数运算模块，前文以Papageorgiou模型为仿真对象，在FPGA上设计了交通流仿真模块。以一段长度为5 km的单向单车道的高速公路为例，将其等分为10段，采用时间设为T=15 s，模型中其他参数设置为：α=0.95，ζ=1，l=1.86，m=4.05，τ=0.005 56 h，ζ=35 km2/h，λ=40 veh/km/lane，Vf=95.1 km/h，kj=110veh/km/ lane。

在初始时刻，假设各路段密度、速度相同，分别为60 veh/km/lane、30 km/h，并假定驶入高速公路的车流量为恒值Q0=1 500 veh/h，每个入口匝道车流量也为恒值r=750 veh/h。

在FPGA上对高速公路宏观模型进行仿真需要注意两个问题：1)边界赋值问题，这里采用边缘赋值条件，令v0(n)=v1(n)，k0(n)=Q0/v1(n)，k11(n)=k10(n);2)通过多项式拟合方法简化式(4)中指数和底数均为浮点数的幂运算，并由(7)式进行替换。

Ve[ki(n)]=0.008[ki(n)]3-0.064[ki(n)]2+0.371 4[ki(n)]+92.310 3 (7)

FPGA实现的模型仿真结果如图5所示。

其中flag表示结果输出标志，count是仿真时间间隔的个数，k5out-k6out和v5out-v6out别是第5、6路段的交通流密度和车辆平均速度。为查验FPGA的仿真精度，选取count= 1，100时两组数据，转换成十进制浮点数形式，与MATLABA仿真结果对比，如表4所示。

从表4知，基于FPGA的模型仿真与MATLAB的仿真结果对比，在仿真初期误差几乎为0，随着仿真时间持续增长，误差随之增大，但总体差距不大，能够满足仿真精度的要求。

5 结束语

1)本文设计了基于自定义浮点数的高速公路交通流宏观动态模型仿真，并在自行开发的FPGA电路板上进行了验证，其中自定义浮点数运算实现简单，节省了FPGA逻辑资源，能够在保证计算精度的前提下以较快的速度实现模型的仿真，在后续的交通控制研究中可以进一步在FPGA上实现控制算法的效果验证;

2)本文的不足之处在于没有直接实现底数和指数全为浮点数的幂运算，而是根据所设定的参数进行多项式拟合，导致模型仿真精度在一定程度上受到拟合精度的限制。