频率响应法--奈奎斯特稳定判据

＝常数

这说明当s沿着半径为无穷大的半圆变化时，函数 始终是一常数。由此， 平面上的映射曲线 是否包围坐标原点，只取决于奈氏轨线中 部分的映射，即由 轴的映射曲线来表征。

设在 轴上不存在 的极点和零点，则当s沿着 轴由 运动到 时，在 平面上的映射曲线 为

(5-43)

设闭合曲线 以顺时针方向包围了 的z个零点和p个极点，由辐角原理可知，在 平面上的映射曲线 将按顺时针方向围绕着坐标原点旋转N周，其中

(5-44)

由于

因而映射曲线 对其坐标原点的围绕相当于开环频率特征曲线 对GH平面上的（－1，j0）点的围绕，图5－38示出了奈氏曲线映射在这两个平面上的位置。

通过上述分析可知，闭环系统的稳定性可通过其开环频率响应 曲线对（－1，j0）点的包围与否来判别，这就是下述的奈奎斯特稳定判据。

奈奎斯特稳定判据：

(1) 如果开环系统是稳定的，即P＝0，则闭环系统稳定的充要条件是 曲线不包围（－1，j0）点。

(2) 如果开环系统不稳定，且已知有P个开环极点在s的右半平面，则闭环系统稳定的充要条件是 曲线按逆时针方向围绕（－1，j0）点旋转P周。

综上，应用奈氏判据判别闭环系统的稳定性的具体步骤为：

（1）首先要确定开环系统是否稳定，若不稳定，则P为多少？

（2）作出奈氏曲线 。具体作图时可先画出 从0到 的一段曲线，然后以实轴为对称轴，画出 从0到 的另一段曲线，从而得到完整的奈氏曲线。

（3）计算奈氏曲线 对点（－1，j0）按顺时针方向的包围圈数N。

（4）根据辐角原理确定Z是否为零。如果Z＝0，表示.闭环系统稳定；反之， ，表示该闭环系统不稳定。Z的数值反映了闭环特征方程式的根在s右半平面上的个数。

例 5－5 试用奈氏判据判别闭环系统的稳定性。

系统的开环传递函数为

试用奈氏判据判别闭环系统的稳定性。

解：当ω由 变化时， 曲线如图5－39所示。因为 的开环极点为－0.5，－1，－2，在s的右半平面上没有任何极点，即P＝0，由图5－39可知，由于奈氏曲线不包围（－1，j0）这点，因此N＝0，则Z＝N＋P＝0。这表示该闭环系统是稳定的。

5.4.3 奈奎斯特稳定性判据的进一步说明

1、开环极点位于虚轴的情况

如果 在虚轴上存在极点，那么就不能