如果要比较精确地计算和绘制极坐标图,一般来说是比较麻烦的,为此可用频率特性的另一种图示法:对数坐标图。对数坐标图法不但计算简单,绘图容易,而且能直观地表现开环增益、时间常数等参数变化对系统性能的影响。 一般对数坐标图由两部分组成:一张是对数幅频特性图,它的纵坐标为 ,单位是分贝,用符号dB表示。通常为了书写方便,把 用符号 表示。另一张是相频图。两张图的纵坐标都是按线性分度,单位分别为dB和 ,横坐标是角频率 。 为了更好地体现开环系统各频段的特性,可对横坐标采用 的对数坐标分度,从而形成了半对数坐标系。这对于扩展频率特性的低频段,压缩高频段十分有效。在以 分度的横坐标上,1到10的距离等于10到100的距离,这个距离表示十倍频程,用符号dec表示。对数幅频特性的“斜率”一般用分贝/十倍频(dB/dec)表示。对数坐标图又称伯德图(Bode图)。 用伯德图表示的频率特性有如下的优点: 1)把幅频特性的乘除运算转变为加减运算。 2)在对系统作近似分析时,一般只需要画出对数幅频特性曲线的渐近线,从而大大简化了图形的绘制。 3)用实验方法,将测得系统(或环节)频率响应的数据画在半对数坐标纸上。根据所作出的曲线,容易估计被测系统(或环节)的传递函数。 在Matlab控制工具箱中,亦有专门的函数用于绘制Bode图:Bode函数。同时为绘制开环系统的幅频特性的渐近线,我们编制了画渐近线的作图函数:Bode_asymp。有关它们的使用方法将结合例题进行说明。
5.3.1 典型环节的伯德图 1.比例环节 比例环节K的对数幅频特性是一高度为 dB的水平线,它的相角为零度,如图5-18所示。改变开环频率特性表达式中K的大小,会使对数幅频特性升高或降低一个常量,但不影响相角的大小。 显然,当 时, 位于横轴上方;当 时, 位于横轴上;当 时, 位位于横轴下方。 2.一阶环节 一阶环节 的对数幅频和相频表达式分别为 其中 | 。 |
当 时,略去式(5-38)中的1,则得 ,表示 高频部分的渐近线是一条斜率为-20dB/dec的直线,当输入信号的频率每增加十倍频程时,对应输出信号的幅值便下降20dB。图5-19所示的是精确对数幅频特性及其渐近线和精确的相频曲线,其中T=1,Matlab命令如下: G=tf(1,[1,1]); [x0,y0,w]=bode(g),[x,y]=bode_asymp(g,w); subplot(211),semilogx(w,20*log10(x0(:)),x,y) subplot(212),semilogx(w,y0(:)) 不难看出,两条渐近线相交点的频率 ,这个频率称为转折频率,又名转角频率。如果 环节的对数幅频特性能用其两条渐近线似表示,则使作图大为简化。问题是,这种近似表示所产生的误差有多大? 由图5-19可见,最大的幅值误差产生在转折频率 处,它近似等于-3dB-22a和5 -22b。如果传递函数中含有 个积分环节,即 ,则它的对数幅频和相频表达式可分别写成 |
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