单片机中最小二乘方滤波器的向量测量和功率计算

目前，以单片机为基础的数字式电气测量、保护装置已成为主流形式。交流信号直接采样也已成为一种普通的方法。快速傅立叶算法是其中的主要算法，而最小二乘方算法，计算量很大，特别是在单片机的处理能力有限的情况下，既要保证实时性，又要保证计算速度，不经过精心设计和程序优化，很难保证二者的统一。

通过减少采样次数、使用每周滤四个采样点拟合的滤波器和一套优化措施，使该算法计算速度大大提高，可以胜任工频向量的实时测量，因而可以用于过流、速断、方向保护等多个方面。本文分析了滤波器中的向量相位关系，同时给出了以此为基础的两线制功率计算举例。该方法已通过实际应用检验。

1 最小二乘方滤波器的构造

根据文献[1～3]的研究结果，对每一路信号，输入电压函数可表示为：

P0——直流分量值

Pk——第K次谐波分量的幅值 K=1,…，N

θk——第K次谐波的相对起始相角 K=1，…，N

ω——基波角频率，ω=2πf,f=50Hz

λ——常数，等于直流分量衰减时间常数

在一般测量、保护应用中，只关心基波成分。为减少计算量，应最大限度地减少采样次数。根据采样定理，一个正弦函数的离散采样次数量少每周波3次。为方便起见，将每周波采样次数定为4次，即采样周期为5ms。则公式（1）中只能包含直流和工频分量。将直流分量按泰勒级数展开并取其前两项，则（1）式成为：

u(t)=P0-P0λt+P1sin(ωt)cos(θ1)+P1cos(ωt)sin(θ1) (2)

其中，P0为直流分量值，P1为基波峰-峰值，θ1为基波分量在采样时刻相对于零点的相位角。

若以最近连续4次采样值为样本，可得到4个采样方程。如将P0、-P0λ、P1cos(θ1)P1sin(θ1)作为待测未知数，可将4个采样方程表示成如下矩阵：

X=A -1U (3)

其中A-1表示A的逆矩阵，亦即向量X的最小二乘方滤波器。根据文献[3]，这个滤波器为：