基于数学优化法的带通滤波器研究

摘要：提出了在滤波器设计过程中的一种数学优化设计方法。理论分析表明，该设计方法能够通过设定目标函数和约束条件的方式迅速而准确地逼近目标，接近理想响应。基于该分析，分别用插入损耗法和数学优化法设计了一个等波纹电感耦合带通滤波器。仿真结果表明：使用数学优化法不仅可以快速而准确地进行设计，而且能大幅提升滤波器性能。
关键词：数学优化法；插入损耗法；带通滤波器；波纹电感

微波滤波器是无线通信收发电路的重要组成部分，在收发前端承担信号选择的功能，在各种无线系统中得到非常广泛的应用，对它设计方法的研究也一直是微波学界研究的焦点问题之一。通常，滤波器可采用传统的电路综合法，包括镜像参量法、网络综合法、插入损耗法等进行设计。近年来，随着无线通信技术的日益发展和微波滤波器面积的不断缩减，单纯利用传统的设计方法已经很难满足结构更加复杂的现代新型滤波器的设计要求。因此，提出新的设计方法已经成为技术发展和应用的关键问题之一。
基于以上背景，本文提出了一种数学优化设计方法进行滤波器设计。相比传统的电路综合法，这种优化设计方法可对多个频率点设立目标函数，在一段频率区间内实现对多个目标的逼近，从而有效地把握滤波器的整体响应，达到精确设计并提高性能的目的。本文用该方法设计了一种等波纹电感耦合的带通滤波器，验证其在控制带宽及改善整体性能方面的优越性。

1 数学优化法设计原理
数学优化法是一种求极值的方法，即在一组约束条件下，使目标函数达到极值，常用的数学优化方法有梯度法、牛顿法、退火算法和遗传算法等。
在滤波器的优化设计过程中，先求得优化频率点，然后构造目标函数K，并把其在优化频率点处的最小值作为目标，利用优化算法求得最优解。
1．1 求解优化频率点
等波纹带通滤波器是以切比雪夫多项式为基础进行设计的，由于带通滤波器的频率响应是低通原型的频率响应经变换得到的，所以首先来考虑低通滤波器。
广义切比雪夫低通原型的滤波函数PLR是一关于频率ω的有理函数，PLR由它的零、极点及一个常数所决定。若用切比雪夫多项式设定N阶低通原型的插入损耗响应，则可以得到滤波函数PLR为：