一种基于DSP的软件锁相环模型与实现
尽管软件锁相环采用的基本算法思想与模拟锁相环和数字锁相环相比并没有太大变化，然而其实现方式却完全不同。本文将建立软件锁相环的Z 域模型，分析软件锁相环中的延时估计、捕获速度及多速率条件下的软件锁相环模型问题［1］。
1软件锁相环的基本模型
在模拟锁相环的基础上，利用数字、模拟系统彼此之间的联系，以二阶二型锁相环为例建立软件锁相环的Z 域模型。文献［2］详细给出了锁相环的基本模型和原理。
如果将锁相环的基本部件采用软件编程的形式实现，就可以得到软件锁相环的基本组成，如图1所示。
首先从模拟锁相环的S域模型出发得到软件锁相环的Z 域模型（二阶二型模拟锁相环的S域模型请参阅文献［2］）。由于双线性变换是联系模拟系统与数字系统的一个重要方法，具有转换简单且表达式清晰明了的特点，因此本文选择双线性变换法作为模拟锁相环与软件锁相环之间的转换基础。
式(1)是双线性变换法的复频域表达式：
其中：T是联系数字系统与模拟系统的采样时间间隔，1/T表示采样频率。根据该转换关系，对S域模型各部分对应的数字复频域表达式进行转换，可以得到如图2所示的复频域模型。
在实际应用中，二阶线性系统常采用阻尼因子ξ、无阻尼振荡频率ωn描述。在二阶二型锁相环中，τ1，τ2 ，K 与ξ，ωn之间的对应关系如下：
在式(1)和式(2)的基础上对图2进行等效变换，可以得到软件锁相环的另一个线性相位Z域模型，如图3所示。
在模型Ⅰ中，参数τ1，τ2和K与实现电路功能的电阻、电容、压控振荡器密切相关。而实现软件锁相功能的却是乘法器、加法器与寄存器，因此采用模型Ⅱ表征软件锁相环线性相位Z域模型显得更有实际意义。
2软件锁相环的数学模型
数字鉴相器的Z域模型如下：
实现数字鉴相器的方法之一就是借助信号的正交分解，图4是该方法的原理框图。
其中：LPF表示低通滤波，A是低通滤波器带来的常数增益。因此鉴相器的输出：
经过反Z变换得到数字环路滤波器的时域表达式为：
通过反Z变换得到数控振荡器的时域表达式：
变量uc(nT)数值较小且变化不会太快,因此式(14)成立：
综合式(11)、式 (12)和式(13)，得到NCO输出信号的表达式：
如果以数字频率描述数控振荡器，则称其数字中心频率为ω0T，数字偏置频率为ωn2
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