单级倒立摆控制系统的稳定性算法设计
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1 一级倒立摆系统的数学模型
本文引用地址：https://www.eepw.com.cn/article/162230.htm对于倒立摆系统来说，如果忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成沿着光滑导轨运动的小车和通过轴承连接的匀质摆杆组成，如图1所示。其中，小车的质量M=1.32 kg，摆杆质量m=0.07 kg，摆杆质心到转动轴心距离l=0.2 m，摆杆与垂直向下方向的夹角为θ，小车滑动摩擦系数，fc=0.1。
倒立摆控制系统数学模型的建立方法一般有利用牛顿力学的分析方法和分析力学中的拉格朗日方程建模两种。本文采用的是拉格朗日方程建模。
一级倒立摆系统的拉格朗日方程应为：
式中：L是拉格朗日算子;V是系统动能;G是系统势能。
式中：D是系统耗散能;fi为系统在第i个广义坐标上的外力。
一级倒立摆系统的总动能为：
一级倒立摆系统有4个状态变量，分别是
，根据式(7)写出系统状态方程，并在平衡点处进行线性化处理，得到系统的状态空间模型如下：
2 倒立摆性能分析
系统的能控性是控制器设计的前提，所以在设计前对系统进行能控性分析，根据能控性矩阵T0=[B，AB，A2B，A3B]，利用Matlab中的rank命令，可以得出rank(T0)=4。由此可知，系统是完全可控的，因此可以对系统进行控制器的设计，使系统稳定。
3 LQR控制器的设计
3.1 LQR控制器原理
线性二次型调节器的控制对象是线性系统，这个线性系统必须是状态空间的形式，即：
，Y=Cx+Du。通过确定最佳控制量U*=R-1BTPX=-KX的矩阵K，使性能指标
的值极小。其中，加权矩阵Q和R是用来平衡状态变量和输入变量的权重;P是Riccati方程的解。这时求解Riccati代数方程：
就可获得P值以及最优反馈增益矩阵K值：
LQR用于单级摆的原理图如图2所示。
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