单片机中最小二乘方滤波器的向量测量及功率计算研究

　　目前，以单片机为基础的数字式电气测量、保护装置已成为主流形式。交流信号直接采样也已成为一种普通的方法。快速傅立叶算法是其中的主要算法，而最小二乘方算法，计算量很大，尤其在单片机的处理能力有限的情况下，既要保证实时性，又要保证计算速度，不经过精心设计和程序优化，很难保证二者的统一。

　　通过减少采样次数、使用每周滤四个采样点拟合的滤波器和一套优化措施，使该算法计算速度大大提高，可以胜任工频向量的实时测量，因而可以用于过流、速断、方向保护等多个方面。本文分析了滤波器中的向量相位关系，同时给出了以此为基础的两线制功率计算举例。该方法已通过实际应用检验。

　　1 最小二乘方滤波器的构造

　　根据文献[1～3]的研究结果,对每一路信号，输入电压函数可表示为：

　　在一般的测量、保护应用中，只需关心基波成分。为减少计算量，应最大限度地减少采样次数。根据采样定理，一个正弦函数的离散采样次数量少每周波3次。为了方便，将每周波采样次数定为4次，即采样周期为5ms.则公式（1）中只能包含直流和工频分量。将直流分量按泰勒级数展开并取其前两项，则（1）式成为：

　　其中，P0为直流分量值，P1为基波峰-峰值，θ1为基波分量在采样时刻相对于零点的相位角。

　　若以最近连续4次采样值为样本，可得到4个采样方程。如将P0、-P0λ、P1cos（θ1）P1sin（θ1）作为待测未知数，可将4个采样方程表示成如下矩阵：

　　若分别用符号A表示系数矩阵，X表示未知参数向量，U表示采样值，则：

　　其中A-1表示A的逆矩阵，亦即向量X的最小二乘方滤波器。根据文献[3],这个滤波器为：

　　因此，

　　实际应用中，为了减少单片机顺序采样带来的时间延迟所造成的计算误差，硬件电路应具有同步采样功能。其作用就是在采样时刻将所有电气信号分别保持下来。

　　2 数字滤波器中瞬时相量的关系

　　若用ua、ub、uc分别表示三相电压相量，Ua,Ub、Uc表示其有效值，初始相位角分别用θua、θub、θuc表示；用ia、ib、ic分别表示三相电流相量，Ia、Ib,Ic表示其有效值，初始相位角分别为θia、θib、θic.则（4）式就是对应相量在X轴上的投影，即矢量的实部；（5）式就是对相量在Y轴上的投影，即矢量的虚部，（4）和（5）式中的θ1是上述相量相对于20ms时间窗之初时刻的相位角。