FFT的前世今生（三）

窗函数对于FFT结果的影响

所谓频谱泄露，就是信号频谱中各谱线之间相互干扰，使测量的结果偏离实际值，同时在真实谱线的两侧的其它频率点上出现一些幅值较小的假谱。产生频谱泄露的主要原因是采样频率和原始信号频率不同步，造成周期的采样信号的相位在始端和终端不连续。简单来说就是因为计算机的 FFT 运算能力有限，只能处理有限点数的 FFT，所以在截取时域的周期信号时，没有能够截取整数倍的周期。信号分析时不可能取无限大的样本。只要有截断不同步就会有泄露。

在图1和图2中，为了最大化FFT运算之后的频率分辨率，我们使用了矩形窗。图中的时域信号是500MHz正弦波信号，在频谱上应该仅在500MHz频点上看到谱线。FFT运算研究的是整个时间域(-∞，+∞)与频域的关系，所以对于矩形窗函数截取的波形应该认为是无穷延续的，因此，矩形窗100ns时间窗内，包含了500MHz正弦波整50个周期，所以波形的首尾能够整周期得无缝连接，FFT之后的频谱会在500MHz频点看到较为纯净的能量值。如下图1所示：

图1：矩形时间窗口内包含整数倍周期的信号，首尾可以“无缝”连接

事实上，大多数类型的信号都不满足上面的这种特殊情况，绝大多数信号在时间窗口内都不是整周期的倍数，在这种情况下，FFT之后的频谱就不能看做连续的正弦波了。例如，如果该正弦波的频率是495MHz，在100ns时间窗口内包含49.5个周期，因此在截取窗口的首尾部分就存在很大程度上的“不连续”，这种“不连续”会直接影响FFT之后的结果。“不连续”部分的能量会散落在整个频谱范围内，使用100ns时间窗口，FFT之后的频率分辨率是10MHz，495MHz频点即落在490MHz与500MHz之间，所以495MHz正弦波信号的能量分成两部分，所以从频谱上看，峰值谱线明显降低了，这被称作是频谱泄露(Leakage)。如下图2所示：

不同的窗函数对信号频谱的影响是不一样的，这主要是因为不同的窗函数，产生泄漏的大小不一样，频率分辨能力也不一样。信号的截短产生了能量泄漏，而用FFT算法计算频谱又产生了栅栏效应，从原理上讲这两种误差都是不能消除的，但是我们可以通过选择不同的窗函数对它们的影响进行抑制。(矩形窗主瓣窄，旁瓣大，频率识别精度最高，幅值识别精度最低;布莱克曼窗主瓣宽，旁瓣小，频率识别精度最低，但幅值识别精度最高)

为了减少频谱旁瓣和栅栏效应的影响，我们在FFT运算中使用窗函数，图3显示了Hanning(汉宁窗)使用后的效果。窗函数位于下图中左上角的栅格中红色的波形，叠加在黄色的时域信号上。窗函数与时域信号时域相乘。结果显示在左下角的蓝色波形。右下角的粉色波形显示了进行FFT计算之后的频谱图，相对于右上角的使用窗函数之前的频谱图来说，旁瓣的幅度已经大大减低。

对于不同的应用需求还有多种不同的窗函数供工程师选择，Hanning(汉宁窗)是使用最广泛的一种窗函数，除此之外，Hamming(海明窗)，Flat-top窗和Balckman-Harris窗的效果，在下图中做了对比，图中的信号使用500MHz正弦波，矩形窗产生最窄的谱线，加Flat-top窗谱线最宽。

下图4中显示了同样的窗函数对比，但是采用495MHz正弦波进行FFT运算，矩形窗显示了最差旁瓣效果，Flat-top窗函数基本上保持了与图3一样的旁瓣效果，所以我们看到旁瓣的影响和精确频率分辨率有时候是不可兼得的。(矩形窗主瓣窄，旁瓣大，频率识别精度最高，幅值识别精度最低;Flat-top窗主瓣宽，旁瓣小，频率识别精度最低，但幅值识别精度最高)

图5中显示了不同的窗函数对于栅栏效应的抑制效果，图中的正弦波频率从450MHz增加到550MHz，步进值为500KHz，Flat-top窗在整个频段上基本保持相同的值，矩形窗函数有约4dB的差值。

我们把关于窗函数的一些重要的结论总结如下：

1、 连续的FFT运算并没有窗函数的概念，因为信号是充满时间坐标轴的，FFT之后的频率分辨率是0，并不存在栅栏效应。但是，示波器采集和处理的信号全部是离散的采样点，是非连续的，所以DFT之后的频谱一定存在栅栏效应。

2、 如果能够保证示波器时间窗口内的信号是整数倍周期的(并且在信号时间窗口之前和之后的信号都是严格周期重复的)，或者采集信号时间足够长，基本上可以覆盖到整个有效信号的时间跨度。这种方法经常在瞬态捕捉中被使用到，比如说冲击试验，如果捕捉的时间够长，捕捉到的信号可以一直包括了振动衰减为零的时刻。在这种情况下，可以不加窗函数。

3、 如果不满足1和2，那么FFT计算之后的频谱就不可避免受到频谱泄露(Leakage)的影响，如频点分裂，幅值能量不精确等等，总之就是频谱线比较难看，这时候就需要使用适当的窗函数，以满足我们工程测量的需要。

4、 示波器中的FFT运算，不加窗和加矩形窗是一回事。

5、 窗函数会改变频域波形，让频谱形成人们“喜欢”的形状，但是不会本质上消除频谱泄露，不同的窗函数都有其独特的特性，我们只需要根据工程测试的需要，选择一款合适的就可以了。