控制系统的时域分析法--二阶系统的暂态响应

(2) 临界阻尼情况（ζ=1）

如果C(s)/R(s)的两个极点接近相等，则系统可近似看作临界阻尼系统。对于单位阶跃输入量，R(s)=1/s，因而C(s)可表示为

上式的拉普拉氏反变换为：

(3) 过阻尼情况（ζ>1）

这种情况下，C(s)/R(s)的两个极点是两个不等的负实数。对于单位阶跃输入量，R(s)=1/s，因此C(s)可以写成

其拉普拉斯反变换为

式中 ，而 ，显然，这时系统的响应c(t)包含着两个衰减的指数项。

当ζ远大于1时，在两个衰减的指数项中，一个比另一个衰减的要快得多，因此衰减得比较快的指数项（相应于较小时间常数的指数项），就可以忽略不计。也就是说，如果-s2与j 轴的距离比-s1要近得多（即|s₁|>>|s₂| ），那么在近似解中，可以忽略-s1，因为方程中包含s1的项比包含s2的项衰减得快的多，所以-s1对系统响应的影响，比-s2对系统的影响要小得多，因此忽略-s1是合理的。因此可以将C(s)/R(s)近似地表示为

这一近似函数形式是根据下述条件直接得到的，即原来的函数C(s)/R(s)与近似函数的初始值和最终值，两者是完全相同的。

对于近似传递函数C(s)/R(s)，其单位阶跃响应可表示为

其时间响应c(t)为

在过阻尼情况下，二阶系统的单位阶跃响应是随时间推移而单调增长，最后在t→∞时趋于稳态值，所以最大超调量是零，调整时间可以用近似的单位阶跃响应估算，如借用一阶系统单位阶跃响应的性质，可以认为响应达到稳态值的95%所需的调整时间

工程上，如果ζ》1.5时，使用上述近似式已有足够的准确度了。

当系统为欠阻尼情况下，即0 ζ1时，二阶系统阶跃响应的上升时间tr、峰值时间tp、最大超调量Mp的计算公式按式（3-13）可表示如下。

上升时间tr 令c(t)=1，代入式（3-13）中，即可求得tr。这时有

或

所以

（3-14）

由上式可见，如欲减小tr，当ζ一定时，需增大ωn ，反之，若ωn一定时，则需减小ζ。

峰值时间tp 出现第一个峰时，单位阶跃响应随时间的变化率为零。为求tp，可将式（3-13）对时间t求导，并令其为零。于是得

由此可知：

n=0、1、2、……

到达第一个峰值时应有

故得

（3-15）

最大超调量Mp 最大超调量发生在t=tp，因此，令式（3-13）中的t=tp，并将tp值代入，即得以百分比表示的超调量

（3-16）

调整时间ts 对于欠阻尼二阶系统，暂态响应可由式（3-13）求得为

曲线 ，是系统对单位阶跃输入信号的暂态响应曲线的包络线，响应曲线c(t)总是包含在一对包络线之内，如图3-9所示。包络线的时间常数为1/(ζωn)。这样，当采用5%允许误差时，有

1+=1.05

由上式得

当0 ζ 0.8时，则有

当采用2%允许误差时，则可推导得出

3.5.3二阶系统的脉冲响应

当输入信号r(t)为单位脉冲函数时，相应的拉普拉斯变换为1，即R(s)=1。则二阶系统的单位脉冲响应C(s)为

这个方程的拉普拉斯反变换，就是时域响应解c(t)，这时当0≤ζ1时，

c(t)=(t≥0)

当ζ=1时