控制系统的时域分析法--二阶系统的暂态响应

在分析或设计系统时，二阶系统的响应特性常被视为一种基准。虽然在实际中几乎没有二阶系统，而是三阶或更高阶系统，但是它们有可能用二阶系统去近似，或者其响应可以表示为一、二阶系统响应的合成。因此，将对二阶系统的响应进行重点讨论。

典型的二阶系统的方框图如图3-6所示，它由一个非周期环节和一个积分环节串联组成，系统的传递函数为

令

则

从上式不难求得闭环系统的极点为

(3-12)

式中ζ ：阻尼比

ωn：无阻尼自然振荡角频率

振荡角频率ωd的单位本为rad/s，但因弧度本身无量纲，只表示比值的概念。在研究控制系统时习惯上写为s-1，同时也常简称ωd为频率。

由式（3-12）可知，系统极点的实部为σ，它控制着时间响应的暂态分量是发散还是衰减，以及暂态分量随时间的变化率。当σ>0时，暂态响应随时间增长而发散，当σ0时，暂态响应随时间增长而衰减。由于σ＝-ζωn，且ωn不可能为负值，所以，又可以看出，当 ζ0时，系统暂态响应将随时间增长而发散，而当 ζ>0时，系统暂态响应才能随时间增长而衰减。

当阻尼比ζ=1时，系统具有两重实极点，于是系统暂态响应中没有周期分量，暂态响应将随时间按指数函数规律而单调衰减。此时称系统处于临界阻尼情况。

当ζ=0时，系统将具有一对纯虚数极点，其值为s₁,s₂=±jω此时称系统处于无阻尼状态，系统的暂态响应将是恒定振幅的周期函数，并且将 称为无阻尼自然振荡角频率，或简称为无阻尼自然振荡频率。

当0 ζ1时，系统具有一对实部为负的复数极点，系统的暂态响应将是振幅随时间按指数函数规律衰减的周期函数，此时称系统处于欠阻尼状态。

在图3-7中表示出当 为不同值时，相应系统极点的分布与阶跃响应的图形。

(a) ζ>1（左半平面有相异实根）时系统响应

(b) ζ=1（左半平面有相同实根）时系统响应

(c)0 ζ1（左半平面有带负实根的共轭虚根）时系统响应

(d)ζ =0（虚轴上带共轭虚根）时系统响应

(e)0>ζ >-1（右半平面有带正实根的共轭虚根）时系统响应

(f) ζ-1（右半平面有相异正实根）时系统响应

图3-8说明系统极点的位置与ζ 、ωn 、σ及ωd之间的关系。对于标出的一对共轭复数极点ωn是从极点到s平面原点的径向距离，σ是极点的实部，ωd是极点的虚部，而阻尼比ζ等于极点到s平面原点间径向线与负实轴之间夹角的余弦，即 ζ=cosθ

阻尼比ζ是二阶系统的重要特征参量。

下面分析过阻尼、临界阻尼和负阻尼三种情况下，二阶系统的单位阶跃响应。

(1) 欠阻尼情况( 0 ζ1 )

此时

式中 ,ωd频率叫阻尼自然频率。对于单位阶跃输入，C(s)可以写成

为求出上式的拉普拉斯反变换，将上式写成下列形式

其拉普拉斯反变换为

（3-13）

由上式可以看出，暂态振荡频率为阻尼自然频率，它是随阻尼比ζ而变化的。这一系统的误差信号，是输入量与输出量之差，即

显然，这个误差信号为一阻尼正弦振荡。稳态时或t=∞时，输入量与输出量之间不存在误差。

如果阻尼比ζ等于零，那么系统的响应变为无阻尼等幅振荡。将ζ=0值代入（3-13），便可得到零阻尼情况下的响应c(t)，即

从上式可以看出，ωn代表系统的无阻尼自然频率。即如果阻尼系数减少到零时，系统将以频率ωn振动。如果线性系统具有一定阻尼，就不可能通过实验得到无阻尼自然频率，而只能得到阻尼自然频率ωd，ωd 等于