用频率采样法设计FIR滤波器

　　有限长脉冲响应(FIR)数字滤波器由于设计灵活，滤波效果好以及过渡带宽易控制，因此在数字信号处理领域得到了广泛的应用。FIR数字滤波器的典型设计方法主要有窗函数法和频率采样法。正确理解和掌握这两种设计方法是学习FIR数字滤波器的一个重要环节。用窗函数法进行FIR滤波器设计的相关问题，目前的教材讲解较为细致，这里不再赘述。本文主要探讨用频率采样法设计FIR数字滤波器的相关问题，主要包括设计原理、性能分析、线性相位条件及设计中应注意的问题等几个方面。

　　1 设计原理及滤波器性能分析

　　频率采样法是从频域出发，对给定的理想滤波器的频响

进行N点等间隔采样，即

，然后以此Hd(k)作为实际FIR滤波器的频率特性采样值H(k)，即令：

　　由DFT定义，可以用这N个频域的采样值H(k)来惟一确定FIR的单位脉冲响应h(n)，即：

　　下面对设计出的滤波器频率响应特性进行分析。由频域采样定理中的内插公式可以知道，利用这N个频域采样值H(k)同样可以求得FIR滤波器的频率响应

，这个

将逼近理想滤波器的频响

。

的内插公式为：

　　从式(5)可以看到，在各频率采样点上，设计的滤波器，实际的频率响应严格地与理想滤波器的频率响应数值相等，即

。但是在采样点之间的频率响应是由各采样点的加权内插函数叠加而形成的，因而有一定的逼近误差。该误差大小取决于理想频率响应的形状，理想频响特性变化越平缓，内插值越接近理想值，逼近误差越小;反之，如果采样点之间的理想频响特性变化越陡，则内插值与理想值之间的误差越大，因而在理想滤波器不连续点的两边，就会产生尖峰，而在通带和阻带就会产生波纹。用频率采样法设计的实际滤波器频率响应如图1所示。由图1可知，实际滤波器的阻带衰减取决于内插函数第一旁瓣幅度值的大小，其大小决定了所设计的滤波器的阻带性能。

　　2 线性相位条件

　　FIR滤波器的最大优点是严格的线性相位特性。下面讨论为实现线性相位，在频域内采样得到的Hd(k)应满足什么条件。FIR滤波器具有线性相位的条件是h(n)

是实序列，且满足h(n)=±h(N-1-n)，即h(n)关于对称，其中N为滤波器的长度。以第一类线性相位条件h(n)=h(N-1-n)(偶对称)为基础来推导频域采样Hd(k)满足的条件。

　　理想滤波器的频率响应可以表示为：

　　为实现第一类线性相位条件，相位函数θ(ω)和幅度函数Hg(ω)应分别满足：

　　式(10)和式(11)就是频率采样值Hd(k)满足第一类线性相位的条件。关于第二类线性相位的条件这里就不再推导，具体公式可参阅相关的教科书。

　　3 设计实例及性能分析

　　现以低通滤波器为例，说明用频率采样法设计FIR线性滤波器的一般步骤及设计中应注意的问题。要求截止频率ωc=0.2π rad/s，采样点数为N=20。设计步骤如下：

　　第一步：确定希望逼近的理想滤波器的频率响应

　　第二步：在频域内对

进行N点等间隔采样，利用频率采样设计公式求频率采样值Hd(k)，采样间隔△ω=2π/N=O.1 π，这样在通带内共有3个采样点，分别是k=0，1，2。利用频率采样设计式(10)和式(11)，可以得到：

　　第三步：用离散傅里叶逆变换求得要设计的实际滤波器的单位脉冲响应h(n)：