分形图像压缩

摘要：欧氏几何学不能处理自然界中非常复杂的形状，这只能借助于分形几何学。分形图象压缩就是利用分形几何学的有关原理进行编码，达到图象压缩之目的。

关键词：分形 收缩仿射变换 迭代函数系统

1 分形的概念

分形（fractal）一词是由分形理论的现代奠基人曼德尔布罗特在1975年造出来的，这个词的拉丁词根含义是“破碎的、分裂的”。分形几何或分形理论研究的对象是那些很不规则而有自相似性的形状。所谓很不规则是指粗糙、不光滑、破碎、扭曲、缠绕等特性。典型的代表是海岸线的形状或者云彩、山峰、树页的形状。传统的鸥几里德几何处理的是直线、由直线段组成的多边形、圆以及由不太复杂的函数定义的曲线。对于很不规则的形状，传统的几何学就难以处理了。典型的例子如“不列颠的海岸线有多长”。若以传统的方法测量，海岸线的长度将取决于所用量尺的长度。对较长的量尺，一些弯曲的细节就回被忽略，因而海岸线的长度就会较短；短的量尺可以量出一些细节，量出的海岸线就较长。如此推算下去，当量尺的长度很小时，由于海岸线的形状极其复杂，量得的长度就会变得极大。

看看由瑞典数学家科和在1904年设计的一段曲线：在单位长度的直线段E0中间，以边长为1/3 E0的等边三角形的两边去代替E0中间的1/3，得到E1（见图1.1）。对E1的每条线段重复上述做法又得到E2，对E2的每段又重复，如此下去得到的极限曲线就是科和曲线。显然，科和曲线处处是尖点，因而处处没有切线；它的长度也不难证明是无穷的，因而传统的几何方法对科和曲线很难处理。

波兰数学家谢尔品斯基从平面二维图形出发，用重复某一过程的办法形成的曲线也是分形曲线的典型例子。如谢尔品斯基垫，它以一个三角形作为源图形，以源三角形的1/4大小的倒三角形作为生成元。在源三角形中除去生成元，然后在剩下的3个三角形中重复这一步骤，得到9个更小的三角形，不断重复上述步骤得到的极限曲线就称为谢尔品斯基垫（见图1.2）。

分形理论和应用发展很快,但至今还没有关于什么是分形的统一定义.一般公认法尔科纳对分形定义的描述比较合理:

* 分形应有精细的结构,有任意小比例的细节;

* 它是如此的不规则,以至其局部和整体都不能用传统的几何语言来描述;

* 分行通常有某种自相似的形式,可能是近似的或是统计的;

* 其“分形维数"一般大于其拓扑维数;

* 分形通常能以非常简单的方法定义,由迭代方法产生。

从科和曲线或谢尔品斯基垫的例子中不难看到以上特点，但“分形维数”值得一提。“分形维数”是一个表征分形复杂或粗糙程度的量，在欧氏几何中，维数总是取整数，直线是一维，平面是二维，立体是三维。把欧氏维数的概念推广，得到的就是分形维数定义之一的相似维数。推广过程如下。在图1.3中，以尺寸为ε的量尺测量大小为L的物体，量得的个数记为N，

则有N = （ L/ε）d

其中d就是维数，从图中可以看出，d分别为1，2，3。也可以认为：

d = lnN / ln（L/ε）

把这种方法推广到谢尔品斯基垫上，不难得到它的维数d为：

d = ln3 / ln2 = 1.58496

用类似的方法可以求得科和曲线的维数d = ln4 / ln3。需要指出，这种维数称为相似维数，它适用于有严格自相似的分形集合。

分形维数的定义还有许多种，它门之间不仅有性质上的差别，而且对同一形态算出的维数也可能不同。在许多定义中，豪斯多夫维数在理论上可能是最重要的，可惜这种维数的计算十分困难，目前还无法用来描述自然界的复杂形态。

建立了分形维数的概念，就可以理解为什么用传统的几何方法去度量不列颠海岸线或者科和曲线的长度时，得不到准确结果。对待这些曲线，要先计算其分形维数，只有在相同维数下度量才有意义。

2 分形图象压缩

2．1 收缩仿射变换（Contractive Affine Transformation）

如果1个平面图形上的各点经过线性变换

后，图形上各点的距离比原有的距离要小，那么就称这种变换是收缩仿射变换。这个变换的a，b，…，f是变换矩阵的系数。比如，一个变换为：

用它对图2.1(a)的图F各点进行变换,变换后得到W(F)(见图2.1(b))。其形状与原图形F相似，但各点的距离缩短。显然，如果对一个图形反复施加收缩仿射变换，即对W(F)再行变换得到W2（F），对W2（F）又施行变换得到W3（F）……，其迭代的结果将使原来图形收缩为一个点。

2．2 迭代函数系统（Iterated Function System）

人们把若干个收缩仿射变换的组合称为迭代函数系统（IFS），即：

当然，上面各个变换W的系数应保证W是收缩仿射变换。
分形几何学中有一个定理：每一个迭代函数系统都定义了一个唯一的分形图形，这个分形图形称为该迭代函数系统的吸收子（attractor）。这个定理称为收缩影射不动点原理。最典型的例子是一片蕨子叶却所对应的迭代函数系统：

它所定义的蕨子叶如图2.2所示。从这个例子可看出，要产生一个复杂的图形需要得数据并不多。蕨子叶对应的迭代函数系统只有24个系数。如果以8比特代表一个系数，那么192比特就可以代表一片蕨子叶。可见压缩比是很大的。分形图象压缩的提出者之一邦利斯曾经扬言，他实现过10000:1的压缩。是否夸大不得而知，但分形压缩很有潜力却是无疑的。

2．3 采用迭代函数系统的图像压缩方法

从蕨子叶的例子可看出，迭代函数系统用不多的系数就可以代表一幅图像，从而得到很大的压缩比。但在实用时，如何寻找一的图像的迭代函数系统呢？目前有两个办法；一是基于图像的自相似性，直接计算迭代函数系统各收缩仿射变换的系数、二是把图像分割成教小的部分，然后从迭代函数系统库中查找这些小部分所对应的迭代函数系统。前一种方法适合于那些自相似性很强的图形。此处以谢尔品斯基垫为例加以说明。图2.3(a)是一个谢尔品斯基垫，可以看出，整个垫子是由上、左下、右下3个较小的垫子组成。每个较小的垫子是由原来的垫子经收缩仿射变换得来的。如果能分别找出把原图形变成3个小图形的收缩放射变换，那么，整个迭代函数系统就定下来了。

设原来垫子3各顶点的坐标分别为（x1,y1），（x2,y2），（x3,y3）。变换所得小垫子的3个顶点坐标为（x'1,y'1），（x'2,y'2），（x'3,y'3）。图2.3(b)表示的是把原电子变为上面小垫子的坐标。把W1的变换式：

展开:

x'1=a1x1+b1y1+e1

y'1=c1x1+d1y1+f1

x'2=a1x2+b1y2+e1

y'2=c1x2+d1y2+f1

x'3=a1x3+b1y3+e1

y'3=c1x3+d1y3+f1

解这组方程得到变换W1的各系数。以图1.7所示各坐标点的数值代如以上方程组，得到。同理，利用左下方垫子和右下方垫子可求出变换W2和W3的系数。分别为：

a2=d2=0.5,b2=c2=e2=f2=0,a3=d3=0.5,b3=c3=f3=0,e3=1.

直接计算迭代函数系统各变换矩阵系数的方法只能用于那些局部与整体有自相似特性的图像，而许多图像是难以用上述办法寻找迭代函数系统的。但若能把整个图像分割成小片，而这些小片图像的迭代函数系统是已知的，同样也可以实现图像的压缩。办法就是事先建立一个分形库（这个库里只需存储分形相应的迭代函数系统代码），原图像分割的小片可按库的目录去寻找相应的迭代函数系统。当然，如何自动把图像合理地分割成小片，分形图形如何适当地放大、缩小或旋转以使之与目标尽可能的重合等，都还有大量的工作要做。

3 分形图像压缩的实例

利用分形几何方法进行图像压缩的历史比传统方法要短的多，因此相对也没有传统方法那么成熟。目前，尽管还不如传统方法那样已经有了对活动图像进行图像压缩的软件、硬件，但对单幅图像的分形压缩方法已经出现了商品化得计算机软件。提供这种软件的公司是美国迭代系统公司（Iterated System Inc.）。他们提供的软件名叫SuperBase Fractal Picture Linkers，这是一个配合SuperBase数据库系统的软件。它可以把画面进行压缩，得到的图形文件称为分形图像格式（Fractal Image Format，FIF），也可以把FIF文件解压成原有图像。

对程序开发人员，迭代系统公司还有POEM Colorbox Ⅲ和POEM Videobox等软件，前者使开发人员能够在微软视窗下把FIF文件集成到普通应用软件内，后者则可对MS-DOS上运行的应用软件中的图像进行压缩或解压。

4 分形图像压缩有待研究的问题

分形图像压缩是有失真的，失真量大小与压缩比密切相关。尽管分形图像压缩有巨大的潜力，但要把这种潜力释放出来，还有许多问题有待进一步的研究，主要表现在：

* 普遍性问题。对于一定的整体与局部存在明显相似性或仿射性的分形图像类，分形图像压缩方法的压缩比极高，但难以期望在很低的失真条件下，对一切分形图像压缩都具有极高的压缩比，只能在压缩比与失真度之间加以平衡。

* 就目前分形压缩技术而言，其编码时间比较长。因此，需要开发编码时间短、效率高的分形压缩算法。

* 理论上，有关自动压缩原理与算法，失真测度或相似性准则等有待继续深入研究。

* 实用化编码方法与硬件实现。

总之，分形理论用于图像压缩之所以有效，是因为自然界中普遍存在着分形物体，它们表面上具有非常复杂的统计特性和视觉特性，但信息量却很少，可用几条简单的确定规则迭代出来。传统的建立于信息论之上的图像压缩技术几乎不能压缩这类图像。而使用分形编码，只需对少数几条变换规则进行编码，即可以获得非常高的压缩比。但另一方面，由于自然界的景物千差万别，因此分形压缩尚有许多问题有待人们深入研究。