用累试法直接在Z平面设计数字滤波器的研究

O 引 言
数字滤波器是数字信号处理的一个重要分支。所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。数字滤波器和模拟滤波器具有同样的滤波功能，但具有不同的实现方式。前者是利用有限精度算法来实现，精度高，稳定性强，实现灵活且不要求阻抗匹配，故在很多方面优于模拟滤波器；数字滤波器是利用离散系统特性对系统输入信号进行加工和变换，改变输入序列的频谱或信号波形，让有用频率的信号分量通过，抑制无用的信号分量输出。数字滤波器的分类有很多种，若从实现的网络结构分类，可分为无限脉冲响应滤波器(IIR)和有限脉冲响应滤波器(FIR)两种。从结构上看，IIR数字滤波器采用递归结构，FIR数字滤波器主要采用非递归的结构。本文从另外一个角度出发，直接在Z平面上选择零、极点，这里称为累试法。它既可以设计IIR型数字滤波器，也可以设计FIR型滤波器。

l 数字滤波器设计原理与方法
IIR滤波器设计方法通常是借助于模拟滤波器的设计方法进行的，先根据技术指标设计出模拟的低通滤波器，然后将模拟滤波器通过变换来设计数字滤波器，即把s平面映射到Z平面。这一类方法相对容易一些，这是因为模拟滤波器设计方法已经很成熟，设计出的滤波器具有运算项数少的优点。而对于FIR数字滤波器的设计方法，其一主要借助于加各种窗函数来实现，其二通过频率采样实现。

2 累试法设计数字滤波器的思路及原则
所谓累试法就是直接利用软件，在Z平面上反复多次设置滤波器的零、极点，观察幅频、相位特性是否满足预先设定的技术指标，如果满足技术指标，则软件输出滤波器的系统函数和滤波器的结构，否则还继续在Z平面上设置零、极点，直到满足技术要求为止。这种设计滤波器的思想与成熟的设计方法是一致的，其实质是一个逐步逼近的过程。
根据文献可知系统函数受系统的零、极点的影响。而零点在相应频率处产生谷值，极点产生峰值。并且零点离单位圆越近陷落越深，极点离单位圆越近，则波峰越陡峭，同样地，在相同位置设置的零点、极点越多，能达到的陡峭效果越好。根据这个思路，可以在Z平面上选择零、极点，当系统幅度特性满足设计指标，由零、极点来确定系统函数，从而确定滤波器的结构。按照这种方法设计应遵循以下的原则：
(1)设置零、极点时主要考虑滤波器是何种类型。如果设计FIR类型，不设置极点，只设置零点，这样的滤波器为非递归型。一旦设置了极点有可能使滤波器变成递归型的。
(2)如果要滤除某一频率，则可以在相应数字频率处设置一零点；相反，则可以设置一极点。
(3)根据滤波器的稳定条件，极点应该设置在单位圆的内部。
(4)为了便于实现滤波器的结构，零、极点应该成对设置(零、极点在实轴上除外)，所谓成对设置就是一对零点应该是共轭的，对于极点同样如此。
(5)要使某频率处陷落越深或波峰越陡峭，则可以在相应位置多设置几个零点或极点。
(6)所谓低频是指在0附近，高频这在π附近，数字频率范围为O～2π。
(7)零点z与其关于圆周对称点具有相同的滤波效应。
(8)由于系统函数单位圆外的极点zk用代替不影响系统的幅频特性，相频特性有所不同。因此当遇到系统涉及单位圆外部极点时，可以用其单位圆内部镜像极点代替。
(9)在同点分别选择一个零点和一个极点，存在零极点对消现象，对系统没有影响。