基于状态空间法的非理想Boost电路开环建模

摘要：Boost变换器是组成高阶变换器的基本单元，故对其建模和仿真的研究有着理论和实际意义。状态空间平均法是DC-DC变换器建模的有力工具。在考虑了电感电容高频寄生电阻的条件下，应用状态空间平均法对非理想Boost变换器进行建模。为统一开关变换器不同工作状态下的状态方程，在此引入开关函数。开关函数的引入使得对状态方程平均化的问题转化为对开关函数平均化的问题，简化了建模过程，且平均化的开关函数具有明确的物理意义。最后将数学模型与电路模型的仿真结果以及实测数据加以对比，得出了较为一致的结论，为直流变换器的设计和分析提供参考。
关键词：状态空间平均法；Boost变换器；数学模型；电路仿真

DC-DC变换器是构建许多其他类型变换器的基本组成部分。在实际系统中，由于输入的直流量存在纹波以及负载的微小变化等因素，使得DC-DC变换器是一个非线性时变系统，关于它的建模研究一直受到普遍重视。状态空间平均法是在变换器满足低频假设、小纹波假设及小信号假设的前提条件下，对非线性系统的线性化建模方法。在满足假设条件的前提下，可以得到较好的仿真结果。对理论研究和设计有一定指导意义。

1 建模方法
为了消除变换器中高频纹波对各变量的影响，需要采取在一个开关周期内求变量平均值的方法，并以状态方程的形式建立各平均变量间的关系，进而建立平均状态方程。对于CCM模式下的理想DC-DC变换器，在一个开关周期内，对应开关元件的不同工作状态，通常可以将变换器的工作过程分为两个阶段，针对每个阶段分段列出状态方程。根据文献所述，有：

式中：x(t)为状态向量；u(t)为输入向量；y(t)为输出向量；A1为系统状态矩阵；B1为输入矩阵；C1为输出矩阵；E1为前馈系数矩阵。
同理，在每个开关周期的[dTs，Ts]时间段内，采取同样的方法，建立该时间段内的状态空间表达式：


在变换器满足低频假设与小纹波假设时，可用状态变量在一个周期内的平均值代替瞬时值，得到CCM模式下DC-DC变换器平均变量状态方程的一般形式：

在低频假设与小纹波假设的前提下，对于状态变量与输入变量可以用其在一个开关周期内的平均值代替瞬时值，并近似认为平均值在一个开关周期内维持恒定，即：

为了使变换器在不同工作状态下状态具有统一的形式，本文引入开关函数，并设开关导通时ε(t)=1，开关截止时ε(t)=0，即：

在定义了开关函数后，变换器的状态方程即可用如下形式的微分方程来表示：

式中x=[i(t) u(t)]T。引入开关函数后，状态方程的物理意义更加明确，状态方程平均化问题得到简化。下面将应用此方法对非理想Boost变换器进行建模分析，其分析方法同样适用于其他变换器。