DFT的窄带滤波器组理解

 

 

    在很多的应用场合，比如在雷达的多目标速度测量中，常用DFT来实现等效的窄带滤波器组。在通常的印象中，滤波器组是多速率信号处理中的内容，它是怎么和DFT有了联系的呢？

       首先从简单的数学推导上来看DFT与窄带滤波器组之间的关系。DFT的定义表达式为：

       

 

利用旋转因子的周期性，上式可以很方便地改写为：

于是DFT可以写成如下的卷积形式：

上式看起来有点复杂，实际上其物理意义非常明显：对于给定的k，DFT的输出为输入信号x(n)通过一个冲激响应为exp(j*2*pi*k*n/N)的滤波器在N时刻的取值。exp(j*2*pi*k*n/N)在时域上幅度为一个门函数，对应的频谱为sinc函数，这是数字信号处理中一个基本的对应关系。也即是说，exp(j*2*pi*k*n/N)实际上就是一个窄带滤波器。对于k=0，1，… ，N-1，exp(j*2*pi*k*n/N)就构成了一组窄带滤波器，即窄带滤波器组。

       了解了上述DFT与窄带滤波器组之间的关系之后，就可以从这个角度更深入地理解DFT的本质了。下面以DFT最常用的噪声抑制为例来说明。假定输入为一个受到污染的单频正弦信号，信号的功率为1，噪声的功率也为1，也即是说输入信噪比为0dB。经过1024点的DFT之后，从滤波器的角度讲，信号的功率可以认为保持不变，噪声的功率则因为滤波器的带宽仅为fs/1024,因此噪声的功率为1/1024，输出的信噪比为10*log₁₀1024=30dB。实际上，从滤波器的角度讲，信号经过DFT之后，分析带宽仅为原来的1/1024倍。这样，通过窄带滤波器后，由于信号的带宽小于分析带宽，能全部通过，而白噪声信号的带宽远大于分析带宽，仅能通过很小的一部分，这样，大部分的噪声被过滤掉了，从而提高了输出信号的信噪比，从而有利于从噪声中检测信号。

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