给"小白"图示讲解OFDM的原理

　　遵循古老的传统，F表示频域，f表示时域，所以可以从公式1-2中看出，每个子载波上面调制的幅度，就是频域信息。类似的说法是：OFDM传输的是频域信号。这种说法有些别扭，但是很多教程或文章会使用这样的说明方式，就看读者如何理解了。如果纯粹从公式或者子载波来看，这种说法其实也是很直接的阐述了。

　　上面1.1-1.3的扩展，可如下图所示：

　　图七：时域上的OFDM系统图

　　1.4

　　还有这一步吗?其实是有的。"小白"你可以先想想，想不到的话先往下看，因为这需要在频域中考量，所以我写在后面了。【也可参考[1]】

　　将上述的时域分析配上LTE的实现，有如下情况：

　　【注1：本段描述需要有LTE物理层的基本知识，如果看不明白，请暂时跳过，看完整篇文章后再回看】

　　【注2：LTE并非时域的实现，下面仅仅是套用LTE的参数，做一个参考分析】

　　子载波的间隔Δf=15kHz，一个OFDM

　　symbol的发送时间是66.7us，可以发现，15kHz*66.67us=1，即基带上一个OFDM

　　symbol的发送时间正好发送一个一次谐波的完整波形。对于10M的LTE系统，采用的是1024个子载波，但是只有中间600个(不含最中间的直流)子载波被用于传送数据。在一个OFDM

　　symbol的时间内(即66.67us)，靠近中间的两个一次谐波传输一个完整波形，再靠外一点的两个二次谐波传输两个完整波形，以此类推至最外面的两个300次谐波传输了300个完整的波形。在这66.67us内，600个子载波互相正交，其上分别承载了600个复数信号。

　　上面的说法有点啰嗦，不如图示来得直观。本来准备再画一图的，不过一来上面已经有了类似的图，实是大同小异;二来，600个子载波，也太多了点。。。

　　OK，说到这里，从时域上面来看OFDM，其实是相当简洁明快讨人喜欢的。不过，一个系统若要从时域上来实现OFDM，难度太大，时延和频偏都会严重破坏子载波的正交性，从而影响系统性能。这点在各种教材文章中都会有提及，我就不赘述了。

　　下面将转入频域来描述OFDM，由于频域不甚直观，的确会稍稍让人费解。不过只要时刻想着时域子载波间的叠加，一切都会好起来。

　　章节二：频域上的OFDM

　　第一章节时域上的讨论开始于OFDM中的"O";本章节频域上我们从"FDM"开始。

　　先图例一个常规FDM的系统图：

　　图11：常规FDM，两路信号频谱之间有间隔，互相不干扰

　　为了更好的利用系统带宽，子载波的间距可以尽量靠近些。

　　图12：靠得很近的FDM，实际中考虑到硬件实现，解调第一路信号时，已经很难完全去除第二路信号的影响了(电路的实现毕竟不能像剪刀裁纸一样利落)，两路信号互相之间可能已经产生干扰了

　　还能再近些吗?可以的。这就是OFDM的来历啊，近到完全等同于奈奎斯特带宽(后面有详述)，使频带的利用率达到了理论上的最大值。

　　图13：继续靠近，间隔频率互相正交，因此频谱虽然有重叠，但是仍然是没有互相干扰的。神奇的OFDM

　　上面三个图的确有点小儿科，不知道"小白"是不是已经在心里呐喊：这谁不知道呀!不过我在这里花时间画了三张图，总还是有所考量的：

　　a.

　　作为上一个章节和本章节之间的补充和连接，说明一下OFDM在频域上面的表现，亦即OFDM的本源来历。

　　b. 引导思考：信号的带宽是多少?

　　c.

　　引导思考：OFDM正交频谱叠加部分到底有多宽呢?结合1.4，先想想，再往下看，会更好。

　　再次回到正轨，请回看第一节中的图一至图六等时域波形图，图示了在时域上，波形的调制，叠加接收，以及最终的解码。让我们看看图一至图三中的每个步骤在频域上是如何表现的。

　　首先来看sin(t)。"小白"呀"小白"，你且说说sin(t)的频谱是啥呀?"小白"弱弱的说：是一个冲激。是的，sin(t)是个单一的正弦波，代表着单一的频率，所以其频谱自然是一个冲激。不过其实图一中所示的sin(t)并不是真正的sin(t)，而只是限定在[0,2π]之内的一小段。无限长度的信号被限制在一小截时间之内，【就好比从一个完整的人身上逮下一根头发，然后把整个人都丢掉，以发代人】其频谱也不再是一个冲激了。

　　对限制在[0,2π]内的sin(t)信号，相当于无限长的sin(t)信号乘以一个[0,2π]上的门信号(矩形脉冲)，其频谱为两者频谱的卷积。sin(t)的频谱为冲激，门信号的频谱为sinc信号(即sin(x)/x信号)。冲激信号卷积sinc信号，相当于对sinc信号的搬移。所以分析到这里，可以得出图一的时域波形其对应的频谱如下：

　　图21：限定在[0,2π]内的a·sin(t)信号的频谱，即以sin(t)为载波的调制信号的频谱

　　sin(2t)的频谱分析基本相同。需要注意的是，由于正交区间为[0,2π]，因此sin(2t)在相同的时间内发送了两个完整波形。相同的门函数保证了两个函数的频谱形状相同，只是频谱被搬移的位置变了：

　　图22：限定在[0,2π]内的b·sin(2t)信号的频谱，即以sin(2t)为载波的调制信号的频谱

　　将sin(t)和sin(2t)所传信号的频谱叠加在一起，如下：

　　图23：a·sin(t)+b·sin(2t)信号的频谱

　　图23和图13，均是频域上两个正交子载波的频谱图。比一下，发现了吗?不太一样!

　　是的，想必你已经想起来了，这是因为基带信号在传输前，一般会通过脉冲成型滤波器的结果。比如使用"升余弦滚降滤波器"后，图23所示的信号就会被修理成图13所示的信号了。这样可以有效的限制带宽外部的信号，在保证本路信号没有码间串扰的情况下，既能最大限度的利用带宽，又能减少子载波间的各路信号的相互干扰。这也是1.4中没有提及的，更多的可参考[1]

　　贴士：脉冲成型滤波器作用于频域，可以"看作"时域中的每个码元都是以类似sinc信号发出的。没必要纠结于发送端码元的时域波形，只需要知道在接收端通过合适的采样就可以无失真的恢复信号就OK咯。

　　这里用到的是奈奎斯特第一准则，在下面的框框内会稍作描述：

　　奈奎斯特第一准则请自行google，这里说说其推论：码元速率为1/T(即每个码元的传输时长为T)，进行无码间串扰传输时，所需的最小带宽称为奈奎斯特带宽。

　　对于理想低通信道，奈奎斯特带宽W = 1/(2T)

　　对于理想带通信道，奈奎斯特带宽W =1/T

　　在下面的图31中，可以看出信号的实际带宽B是要大于奈奎斯特带宽W(低通的1/(2T)或者带通的1/T)的，这就是理想和现实的距离。

　　补充说明：本文提到的"带宽"，也即约定俗成的带宽理解方式，指的是信号频谱中>=0的部分。在从低通到带通的搬移过程中，因为将原信号负频率部分也移出来了(也可理解为同乘e(j2πfct)

　　+ e(-j2πfct)的结果，见参考[2])【注：没有上角标和下角标的编辑器，真不爽。不过，你应该看得懂的】，所以带宽翻倍了。如下图所示：

　　图31：内涵丰富的图，请参看上面和下面的说明文字

　　上面专门用框框列出奈奎斯特第一准则，还有一个重要目的就是说明下频带利用率的问题。频带利用率是码元速率1/T和带宽B(或者W)的比值。

　　理想情况下，低通信道频带利用率为2Baud/Hz;带通信道频带利用率同样为2Baud/Hz(负频率移出来后，和正频率一样可以独立携带信号)

　　实际情况下，因为实际带宽B要大于奈奎斯特带宽W，所以实际FDM系统的频带利用率会低于理想情况。

　　【说到这里，终于可以图穷匕见了】而OFDM的子载波间隔最低能达到奈奎斯特带宽，也就是说(在不考虑最旁边的两个子载波情况下)，OFDM达到了理想信道的频带利用率。

　　图32：OFDM正交子载波，载频间距为奈奎斯特带宽，保证了最大的频带利用率

　　将上述的频域分析配上LTE的实现，有如下情况：

　　【注：本段描述需要有LTE物理层的基本知识】

　　子载波的间隔Δf=15kHz，一个OFDM

　　symbol的发送时间是66.7us。在10MHz信道上，1ms的子帧共传输14个OFDM symbol【不是15个，留空给CP了】，每一个OFDM

　　symbol携带600个复数信息，因此：

　　1. 从整个系统来看，波特率为600*14*2/1ms =

　　16.8MBaud，占据带宽10MHz，因此带宽利用率为16.8MBaud/10MHz =

　　1.68Baud/Hz，接近2Baud/Hz的理想情况。【注：一是CP占用了每个OFDM

　　Symbol约1/15的资源，二是10MHz的频带并不是满打满算的用于传输数据，其边界频带需要留空以减少与邻近信道的干扰】

　　2.

　　单从OFDM一个symbol来看，波特率为600*2/66.7us =

　　18MBaud，占据带宽600*15kHz=9MHz【不考虑边界子载波带外问题】，因此其带宽利用率为18MBaud/9MHz=2Baud/Hz，符合上面的讨论。

　　附：5M带宽的WCDMA的chip

　　rate = 3.84M/s，即码率为3.84M*2 = 7.68MBaud，带宽5M，所以带宽利用率为7.68MBaud/5MHz =

　　1.536Baud/Hz，略逊于LTE的1.68Baud/Hz【注：WCDMA的脉冲成型采用滚降系数为0.22的升余弦滤波器，奈奎斯特带宽为3.84M】

　　章节三：用IFFT实现OFDM

　　其实前两章，我已经将自己的理解尽数表达了：第一节是从时域上来说子载波正交的原理;第二节是从频域上来解释子载波正交后，达到理想频带利用率的特性。想来，虽然前两章写得较长【没预料到会写这么长的...太长了没人看...】，但是应该还是很简单、清晰、易懂的。

　　不过"小白"的卡壳，似乎并不在于最基本的正交原理和频带利用率上，反而是IFFT变换中，充斥的各种时域频域角色变换让其眼花缭乱。

　　个人觉得要理解IFFT实现OFDM，最好的办法还是看公式。比如第一章节中的公式1-1和公式1-2，配上时域波形图的叠加，不要太好理解哟。当然，这里的IFFT需要将时域离散化，因此公式

IFFT≈ IDFT -->

　　fn =1/N·∑Fk·e(j·2π·k·n/N) 【公式3-1，n为时域离散后的序号，N为总的IFFT个数，n∈[1,N]】

　　关于公式3-1的理解方法，可以是这样的。其中一种理解方式是联系第一章节的公式1-2：可以发现公式3-1等号右侧所表达的物理意义和公式1-2是相同的，均代表了不同子载波e(j·2π·k·n/N)发送各自的信号Fk，然后在时域上的叠加形成fn，只不过现在叠加出来的时域不是连续波形，而是离散的时序抽样点。

　　另一种更容易，更可爱的理解方式是：在一个OFDM

　　symbol的时长T内，用N个子载波各自发送一个信号F(k)(k∈[1,N])，等效于直接在时域上连续发送fn(n∈[1,N])N个信号，每个信号发送T/N的时长。

　　在IFFT实现OFDM中，发送端添加了IFFT模块、接收端添加了FFT模块。IFFT模块的功能相当于说：别麻烦发送N个子载波信号了，我直接算出你们在空中会叠加成啥样子吧;FFT模块的功能相当于说：别用老式的积分方法来去除其余的正交子载波了，我帮你一次把N个携带信号全算出来吧。就是这样，IFFT实现OFDM的系统用"数学的方法"，在发送端计算信号的叠加波形，在接收端去除正交子载波，从而大大简化了系统的复杂度。

　　图八：用IFFT实现OFDM。请自行对比图七

　　最后说一句："小白"乃"白富美"之"白"，非"一穷二白"之"白"也。

　　好吧，该结束了。再写得长了更没人看了。

　　补充章节：从频谱上来看正交性

　　本文最开始发表时是没有这一段的，因为原文已然十分自恰，已将OFDM的原理说的非常清楚到位了。然而，这一段的内容却是别的文章中讲解OFDM时经常出现的桥段，因此觉得还是有必要补充陈述一下自己的观点。

　　【注：本小节为补充章节，与本文逻辑没有必然联系，可直接略过。】

　　从正文章节中，可以发现作者的思路：从时域角度讲解子载波的正交性;从频域角度讲解OFDM的频带利用率。作者觉得这是最容易理解OFDM原理的方式。但是教材中、网络上，还有一种非常主流的讲解方式：从频域上“直观的”看待子载波的正交性。比如下面这个图：

　　图51：从OFDM频谱看待正交性(本图来自网络，比我画的图好些，还有文字说明)

　　这种观点的说法是：在每个子载波的抽样点上，其它的子载波信号抽样值均为0(即上图中的subcarrier

　　Nulls对应某个子载波的Subcarrier

　　Peak)。这种说法在图示上有非常醒目的直观效果，所以是各教材讲义中的常客，但是至少从作者的角度来看，这种说法在涉及到后面的解调信号时，将变得非常难以理解和说明。所以本文最开始的版本中是没打算写本小节的。

　　如果你看到这里，觉得这种说**中下怀，那么恭喜你。

　　如果你看到这里，觉得这种说法已经让你的脑袋成了浆糊，那么可以回顾第一章节：时域上的正交性，然后继续阅读下面部分以解毒。

　　时域上的正交性和频域上的正交性之间的关系该如何联系起来呢?回顾前面提到sin(t)和sin(2t)是正交的【证明：sin(t)·sin(2t)在区间[0,2π]上的积分为0】，推广到更一般的情况是：{sin(2π·Δf·t)，sin(2π·Δf·2t)，sin(2π·Δf·3t),...,sin(2π·Δf·kt)}在区间[0,

　　1/Δf]上正交(注：教材上一般写为u(t)在[-T/2,T/2]区间上怎么怎么着，本文就用不着那么学术了)。可以看出，这里有一个关键的参数Δf：它既是频域上子载波的间距，又确定了时域上的信号传输时间。回顾时域频域转换图：

　　图52：同前面的图21，时域波形和频域的转换

　　联系上图的时频转换，可以发现Δf既确定了子载波本身(即上图中第一排的两个图)，又确定了待发信号的传输时间(即上图中第二排的两个图中信号的宽度)，从而决定了信号频谱的主瓣宽度以及旁瓣为0的位置。这也意味着，OFDM系统中一旦选定了子载波间隔，时域上的正交性以及频域上的正交性也就顺理成章的联系起来了。如下图：

　　图53：同前面的图23，两路信号的间隔Δf，保证了时域上的正交性、确定了频域上的旁瓣0点位置

　　其实对本作者而言，从频谱上来看待OFDM的正交性有点颠倒因果的嫌疑。按我的理解：OFDM选用的正交子载波是因，频谱中出现“其余子载波携带信号的旁瓣0点处于当前子载波携带信号主瓣峰值处”的现象是果。以果推因，谬矣。