01 前言

双目相机标定，从广义上讲，其实它包含两个部分内容：

两台相机各自误差的标定（单目标定）

两台相机之间相互位置的标定（狭义，双目标定）

在这里我们所说的双目标定是狭义的，讲解理论的时候仅指两台相机之间相互位置的标定，在代码实践的时候，我们才说完整的双目标定。

首先来思考一个问题：为什么要进行双目标定？

这是因为在许多三维重建算法中，我们都要知道两台相机之间的相对位置关系，这样才能进行距离计算。

双目标定前后，双目模型对比如下图所示：

图1 标定模型 [1]

其中：

基线：两个光心的连线称为基线；

极平面：物点（空间点M）与两个光心的连线构成的平面称为极平面；

极线：极平面与成像平面的交线

极点：极线的一端，基线与像平面的交点

像点：极线的一端，光心与物点连线与像平面的交点；

可以看出：

校正前，相机的光心不是相互平行的

校正后，极点在无穷远处，两个相机的光轴平行，像点在左右图像上的高度一致

标定+校正后图片：

图1 立体校正后左右相机图像发生一定扭曲 [2]

这样的好处是：比如后续的立体匹配时，只需在同一行上搜索左右像平面的匹配点即可，能使效率大大提高。

注：可以看出来，最重要的，我们要知道右相机相对于左相机的位姿关系，那我们才可以做校正！

02 单目理论回顾

先来回顾下单目标定理论，理想的单目相机模型可以简化为（图片来自于[1]）：

而四大坐标系，包括世界坐标系、相机坐标系、图像坐标系、像素坐标系，它们之间的转换关系如下：

最终，从理想的相机模型，从世界坐标系到像素坐标系的转换关系：

但由于制造原因，使得成像过程（从相机坐标系到图像坐标系转换过程中）存在着畸变，主要有两类，径向畸变和切向畸变，它们可以通过以下公式进行修正：

03 双目标定公式推导

图3 标定模型 [2]

记：

另外，右相机主点相对于左相机主点，显然还有：

代入上式，因为拍摄了多张图片，利用最小二乘法，也可以是奇异值分解（数学的部分比较复杂，在这里忽略），总而言之，最小化误差，即可得到我们最佳估计的 矩阵，有了这两个矩阵，我们做个旋转、平移就可以了。

注：虽然得到了旋转、平移矩阵，也但是极线校正的方法有很多，这个我们之后讲。

04 极线校正理论推导

双目标定后，我们得到了右相机相对于左相机的位姿关系，也就是R、T矩阵，下面一步即做极线校正。校正好处是之后做立体匹配搜索的时候，只需要在同高度附近进行搜索，大幅提升效率。根据前文的推导，在获取了R、T矩阵后，我们就要进行极线校正（立体校正），使两部相机光轴平行，如下所示：

图4(a) 立体校正前 [2]                                             图4(b) 立体校正后 [2]

但是平行的方法有很多，可以：

左相机不动，右相机动。

也可以两部相机旋转到中间等等。

最常见的校正方法就是Bouguet极线校正方法。

Bouguet极线校正方法：左右相机成像平面各旋转一半，使得左右图像重投影造成的误差最小，左右视图的共同面积最大。

具体步骤（这块理论推导可以去看论文，这里只给出结论，看不懂没关系，不妨碍我们使用它）：

得到这两个变换矩阵，左、右相机分别乘以这两个矩阵即可完成变换，其中已经包含了平移信息！

再计算重投影矩阵，其实现了像素坐标系（左相机）到世界坐标系之间的转换：

校正后，可以根据需要对图像进行裁剪，需重新选择一个图像中心，和图像边缘从而让左、右叠加部分最大。

                         图2 裁剪效果演示 [2]

05 参考文献

1.opencv双目视觉标定，激光结构光提取，指定特征点获取世界坐标：https://blog.csdn.net/slzx5511/article/details/103844719

2.[立体视觉] 双目立体标定与立体校正：https://blog.csdn.net/u011574296/article/details/73826420

3.工业相机双目标定：https://zhuanlan.zhihu.com/p/63618986

4.本质矩阵和基础矩阵区别是什么?:https://www.zhihu.com/question/27581884

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