频率响应法--极坐标图

如果要比较精确地计算和绘制极坐标图，一般来说是比较麻烦的，为此可用频率特性的另一种图示法：对数坐标图。对数坐标图法不但计算简单，绘图容易，而且能直观地表现开环增益、时间常数等参数变化对系统性能的影响。

一般对数坐标图由两部分组成：一张是对数幅频特性图，它的纵坐标为 ，单位是分贝，用符号dB表示。通常为了书写方便，把 用符号 表示。另一张是相频图。两张图的纵坐标都是按线性分度，单位分别为dB和 ，横坐标是角频率 。

为了更好地体现开环系统各频段的特性，可对横坐标采用 的对数坐标分度，从而形成了半对数坐标系。这对于扩展频率特性的低频段，压缩高频段十分有效。在以 分度的横坐标上，1到10的距离等于10到100的距离，这个距离表示十倍频程，用符号dec表示。对数幅频特性的“斜率”一般用分贝/十倍频（dB/dec）表示。对数坐标图又称伯德图(Bode图)。

用伯德图表示的频率特性有如下的优点：

1)把幅频特性的乘除运算转变为加减运算。

2)在对系统作近似分析时，一般只需要画出对数幅频特性曲线的渐近线，从而大大简化了图形的绘制。

3)用实验方法，将测得系统（或环节）频率响应的数据画在半对数坐标纸上。根据所作出的曲线，容易估计被测系统（或环节）的传递函数。

在Matlab控制工具箱中，亦有专门的函数用于绘制Bode图：Bode函数。同时为绘制开环系统的幅频特性的渐近线，我们编制了画渐近线的作图函数：Bode_asymp。有关它们的使用方法将结合例题进行说明。

5.3.1 典型环节的伯德图

1．比例环节

比例环节K的对数幅频特性是一高度为 dB的水平线，它的相角为零度，如图5－18所示。改变开环频率特性表达式中K的大小，会使对数幅频特性升高或降低一个常量，但不影响相角的大小。

显然，当 时， 位于横轴上方；当 时， 位于横轴上；当 时， 位位于横轴下方。

2．一阶环节

一阶环节 的对数幅频和相频表达式分别为

当 时，略去式（5－38）中的1，则得 ，表示 高频部分的渐近线是一条斜率为－20dB/dec的直线，当输入信号的频率每增加十倍频程时，对应输出信号的幅值便下降20dB。图5－19所示的是精确对数幅频特性及其渐近线和精确的相频曲线，其中T＝1，Matlab命令如下：

G=tf(1,[1,1]);

[x0,y0,w]=bode(g),[x,y]=bode_asymp(g,w);

subplot(211),semilogx(w,20*log10(x0(:)),x,y)

subplot(212),semilogx(w,y0(:))

不难看出，两条渐近线相交点的频率 ，这个频率称为转折频率，又名转角频率。如果 环节的对数幅频特性能用其两条渐近线似表示，则使作图大为简化。问题是，这种近似表示所产生的误差有多大？

由图5－19可见，最大的幅值误差产生在转折频率 处，它近似等于－3dB－22a和5 －22b。如果传递函数中含有 个积分环节，即 ，则它的对数幅频和相频表达式可分别写成

(5-42)

式（5－41）所示的是一簇斜率为 的直线，且在 处， ，如图5－23所示。由式（5－41）求得，这些不同斜率的直线通过0dB－44）中的1和 项，则得

上式表示 的高频渐近线为一斜率 的直线。不难看出，两条渐近线相交于 。 称为振荡环节的转折频率。基于实际的对数幅频特性既与频率 和 有关，又与阻尼比 有关，因而这种环节的对数幅频特性曲线一般不能用其渐近线近似表示，不然会引起较大的误差。图5－25所示。由图可见， 值越小，对数幅频曲线的峰值就越大，它与渐近线之间的误差也就越大。

将式（5－43）的幅值表达式写为

(5-45)

令

(5-46)

显然，如在某一频率时， 有最小值，则 便有最大值。把式（5－46）改写为

(5-47)

下面针对不同的 值范围，讨论在什么条件下，式（5－44）会有峰值出现，这个峰值和相应的频率应如何计算。

（1） 时

从式（5－47）中看出，当 时， 有最小值，即 有最大值，这个最大值称为谐振峰值，用 表示之。基于 值为 ，由式（5－26所示。产生谐振峰值时的频率叫谐振频率，用 表示，它的值为　

由上式可见，当 趋于零时， 就趋向于 。当 时， 总小于有阻尼自然频率 。

（2） 时

此时可将式（5－46）改写为

(5-49)

不难看出，由于 随着 的增大而增大，因而 随着 的增大而单调地减小。这意味着，当 时，幅值曲线不可能有峰值出现，即不会产生谐振。当 时， 有最小值，其值为期1