利用自适应子波变换提高对微弱运动目标的检测
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四、利用AWT改善长时间相参积累性能
利用线性调频模型的RWT变换实现积累，原理上看其时频是平稳相关，但由于目标具有时变非平稳特征，故需要进行联合时频域分辨.利用上节的复正交线性相位子波函数，可以用AWT把对高阶非线性多普勒变化用区间线性来近似.结合AWT的快速实现，这种逼近不需进行多维搜索而能自适应地分段匹配于信号.而且，不同子带上频率变化有相关性，无需作全程优化，据此可进一步降低算法的计算量，得到较好的检测性能.
1.回波信号的自适应子波变换
设{x(n),n=1,2,…,N}是不同观测期内的回波信号，N为可能收到的总回波数.对于自适应子波的局域划分，对每个分岔树上的信号，可描述为：
(10)
式中Wj,m(n)为第j个分解层上，m个子带中第n个子波系数，Wj+1,2m(n)和Wj+1,2m+1(n)为Wj,m(n)的一个二叉树，h(n)为酉尺度滤波器，g(n)为酉子波滤波器.快速离散自适应子波分解可通过塔形算法实现.复正交滤波器分解特性使得Wj,m(n)满足能量守恒关系，即用任意的时频瓦片划分结构覆盖全频率段，不同的瓦片间能量无冗余结构.这种分解有助于获得优化的局域匹配效果.
最佳子集的获取与代价函数有关，通常可采用的代价函数有多种，如门限法、最小lp范数法、最小方差和熵函数法等.其中最小熵意味着在一定的均方误差条件下提取通带信号能量的最集中表示.由于统计分布的杂散分量其熵函数较高，则最小熵准则使得杂噪分量散布，利于子带的局域相参积累和检测处理.
2.AWT长时相干积累检测方法
设回波信号模型由如下P阶多项式相位信号表示，即x(t)=A.ej2πφ(t),其中
,则检测问题表示为：
Hm：r(t)=m.x(t)+n(t),m=0,1 (11)
这里r(t)为观测信号，t∈［-Tc/2,Tc/2］.设n(t)为独立随机复高斯噪声，Ω={P,ai,i=1,…,P}为信号参数空间.利用广义最大似然估计可得到上述检测问题的检测统计量为
(12)
式中
和
i是Ω的最大似然估计.式(12)实现的最优解实际上是对回波非线性频率变化的瞬时相位补偿，因而能获得检测的性能上限.然而，最大似然估计是对Ω的(P+1)维联合寻优问题，具有很大运算量，很难具体实现，而利用AWT多分辨，实质上把最大似然估计对信号参数Ω的多维联合搜索简化为多个相关的一维搜索，同时保持检测器性能基本不变，它是一种次最优的实现方案.AWT长时间相干积累检测器的检测统计量为：
(13)
图1 检测算法流程图 其中M为优化的时频单元划分数目，μj,m为一阶逼近斜率，F(.)表示傅里叶变换.利用AWT法实现长时间相干积累的特点在于它将长时间的多普勒频率的非线性变化分割为局域线性特征，由于对线性调频信号的检测方法比较成熟，又有基于Radnon-Wigner变换的解线性调频的快速算法存在，所以利用AWT法对回波能量的利用率理论上只取决于局域时频分割的大小，时频单元划分越细，对频率的分辨越高，能量利用率越高.但是过细的划分是不必要的.我们知道通常情况下，目标机动而引起的多项式相位的阶数不会太高，即非线性频率变化是有限阶可导的连续函数.为了避免增加运算量，原则上在性能损失不大的情况下(即近似线性)，则应选择最少的时频单元划分数目.
对于RWT检测器，其输出检测量为：
一般对上式中的积分不可能得出一个闭合形式的解，但是，利用积分的渐近矩展开式［5］，我们可以推出它的一个近似解为：
上式表明，对式(14)的信号用RWT方法作相参积累，其性能受到非线性相位项的制约，如果这种非线性相位项的阶数越高，调制指数越大，则性能下降得越多.而利用前述AWT的优化分段线性逼近方法，理想情况下，就是对时频曲线实现相参积分，此时相当于对式(14)中的高阶多项式瞬时相位进行正确补偿后的积累输出，即令a1,a2→0时的结果：
这里X(f)为x(t)的傅氏变换.因此，AWT检测器相对于RWT检测器对有限长非线性调频回波信号的理想积累改善因子为：
式(18)表明，积累改善的程度与可积累时间成正比，与非线性调频参数的大小成正比.其物理意义也很明确，若目标机动性越强，则调频曲线越弯曲，利用AWT方法所带来的检测增益也就越大. 五、仿真结果 |
(14)
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图2 目标单元的时频特性(SNR=-3dB) |
图3(a) 常规方法 |
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