​探索调频波带宽与调制指数之间的关系

在这篇文章中，我们将研究改变调制音调的幅度和频率如何影响FM信号的带宽。我们还将比较AM和FM方案中的调制指数。

在本系列的前面，我们研究了单频信息信号产生的FM波的频谱。在本文中，我们将通过分析调制信号的频率和幅度对音调调制FM波频谱的影响来继续讨论。在文章的最后，我们还将看看AM和FM中的调制指数参数是如何相互不同的。

调频调频频谱

图1显示了当载波振幅为1时，音调调制FM波的典型频谱。

单音消息信号的FM信号的典型频谱。

图1 单音消息信号的FM信号的典型频谱

频谱包括由调制频率（fm）分隔的不同音调。这些音调出现在载波频率（fc）和边带频率fc±fm、fc±2fm、fc？fm等处。第n边带的幅度由第一种贝塞尔函数Jn（β）缩放，其中β表示调制指数。

调制指数由下式给出：

方程式1

其中：

Am是调制信号的振幅

kf是频率偏差常数

Δf是最大频率偏差。

在上面的方程中，我们看到β与Δf成正比，与fm成反比。由于这两个参数影响β，因此可以合理地假设它们也影响fm信号的带宽。在本文的下两节中，我们将测试这一假设——首先是峰值频率偏差，然后是调制频率。

调频波的带宽如何随频率偏差而变化？

考虑一个由4Hz正弦信号频率调制的2kHz载波。如果峰值频率偏差为Δf=20Hz，则调制指数为β=5。图2是通过对调制信号进行FFT得到的，显示了载波频率（fc=2 kHz）附近的输出频谱。

当Δf=20 Hz、FM=4 Hz和β=5时，调频调频波的频谱。

图2 当Δf=20 Hz、FM=4 Hz和β=5时，调频调频波的频谱

对该输出频谱的目视检查表明，信号的带宽符合卡森定律。应用卡森规则，信号的带宽估计为：

方程式2

在本节中，我们将保持fm不变，并改变峰值频率偏差（Δf）。我们将从将频率偏差加倍到Δf=40 Hz开始。应用方程式1，我们现在有β=10。图3显示了最终的输出光谱。

当Δf=40 Hz、FM=4 Hz和β=10时，调频调频波的频谱。

图3 当Δf=40 Hz、FM=4 Hz和β=10时，调频调频波的频谱

我们再次使用卡森规则来计算带宽：

方程式3

这比我们之前的值大得多。比较图2和图3，我们可以看到输出频率分量之间的间距保持不变。这是因为音调分离是由恒定的调制频率决定的。然而，Δf加倍会使调制指数加倍。这增加了重要边带的数量，从而增加了带宽。

最后，让我们将Δf增加到80 Hz。当fm=4 Hz时，我们得到β=20，带宽为：

方程式4

这种情况下的输出频谱如图4所示。

当Δf=80 Hz、FM=4 Hz和β=20时，调频调频波的频谱。

图4 当Δf=80 Hz、FM=4 Hz和β=20时，调频调频波的频谱

在固定的调制频率下，输出频率分量之间的间距再次保持不变。正如预期的那样，增加频率偏差会增加带宽。如果fm比Δf小，我们有：

方程式5

这意味着带宽几乎与Δf成正比。

调频波的带宽如何随调制频率而变化？

接下来，让我们看看如果我们保持频率偏差（Δf）恒定，但改变调制频率（fm）会发生什么。Δf=20 Hz、fm=4 Hz和β=5的输出频谱如图5所示。

Δf=20 Hz、FM=4 Hz和β=5的调频调频波频谱。

图5 Δf=20 Hz、FM=4 Hz和β=5的调频调频波频谱

请注意，这些值与我们在图2中使用的值相同。光谱看起来略有不同，因为x轴上显示了不同的范围。

如果我们将调制频率降低到fm=2 Hz，我们得到了图6中的频谱。

Δf=20 Hz、FM=2 Hz和β=10的FM波谱。

图6 Δf=20 Hz、FM=2 Hz和β=10的FM波谱

正如我们之前提到的，将fm减半会使调制指数加倍，达到β=10。因此，重要边带的数量增加了。然而，由于fm决定了频率分量之间的间距，边带会彼此靠近。由于这种双重效应，我们预计调频带宽会随着调制频率的变化而略有变化。

让我们用卡森法则来验证这一点。回想一下，对于Δf=20 Hz和fm=4 Hz，我们有：

方程式6

当fm=2 Hz时，我们得到：

方程式7

请注意Δf和fm如何以不同的方式与带宽相互作用：Δf对带宽有很大的影响，但fm的影响很小。例如，在我们的第一组模拟中，20 Hz的峰值频率偏差对应于48 Hz的带宽。当我们将频率偏差加倍到Δf=40 Hz时，带宽也几乎加倍了——我们从BW=48 Hz变为BW=88 Hz。相比之下，将fm减半只会略微降低带宽（从48 Hz降低到44 Hz）。

在最后一次模拟中，我们将把调制频率降低到fm=1 Hz。这产生了图7中的光谱。

Δf=20 Hz、FM=1 Hz和β=20时的FM波频谱。

图7 Δf=20 Hz、FM=1 Hz和β=20时的FM波频谱

我们现在的带宽为：

方程式8

这仅略小于之前的值。如果我们比较我们为最后三个数字计算的带宽，我们发现减少fm会导致频率分量挤进固定频率区间：

方程式9

大β值时的FM带宽

在我们继续之前，让我们看看当β接近无穷大时FM带宽的特殊情况。我们使用与之前相同的公式确定FM带宽：

方程式10

对于较大的β值，FM波的带宽接近2Δf。您可以通过检查图4和图7来验证这一点，这两个图都对应于调制指数β=20。

调制指数：AM与FM

最后，我想对比一下AM和FM方案的调制指数参数。如果我们比较由下式给出的调频信号：

方程式11

下面再现了传统的AM信号方程：

方程式12

我们观察到参数β和μ在各自的调制方案中起着类似的作用。在这两种情况下，它们都控制着调制量。然而，它们也显示出显著的差异：虽然FM的带宽取决于β，但AM的带宽与μ无关。

此外，回想一下，β与调制信号的幅度（Am）成正比，与调制信号频率（fm）成反比。因此，FM波的带宽取决于Am和FM。Am方案中的情况并非如此。

对于AM，当消息信号的最大值不超过1时，我们通常会强制约束μ≤1以简化接收器。这使我们能够使用简单的包络检波器进行解调。为了获得最佳结果，选择尽可能接近单位的μ以最大化恢复的消息信号的幅度是有益的。

较大的β也会导致FM中恢复的消息信号更强。虽然在传统AM中选择μ≤1，但FM方案不会对β的最大值施加这种约束。相反，FM出于另一个原因对β施加了约束：调制波的占用带宽。从方程10中，我们知道大β的FM波带宽约为BW=2Δf=2βFM。因此，对于给定的调制频率，β的最大值由允许的频率带宽决定。

总结

在这篇文章中，我们研究了Δf和fm的变化如何影响调频调频信号的带宽。通过一系列模拟，我们发现Δf的变化极大地影响了带宽。相比之下，改变形式的影响相对较小。我们还了解到，对于较大的β值，FM波的带宽接近2Δf。

最后，我们比较了AM和FM方案中的调制指数。在传统的AM中，我们通常使用小于或等于1（μ≤1）的调制指数来简化接收器。然而，在FM中，调制指数的最大值由允许的FM带宽决定。