​探索贝塞尔函数：理解调频音调的频谱

在这篇文章中，我们将学习贝塞尔函数的基本性质，以及它们可以告诉我们关于实际调频信号带宽的信息。

在上一篇文章的末尾，我们了解到单频消息信号产生的FM波频谱由无限多个边带组成。边带通过调制频率（fm）彼此分开。然而，在实践中，FM信号的带宽是有限的。在这篇文章中，我们将通过研究第一类贝塞尔函数来解决这一明显的矛盾，并提高我们对调制谱的整体理解。

贝塞尔函数的可视化

具有任意调制指数β的音调调制FM波的方程可以写为：

方程式1

正如你在上面的方程中看到的，第n边带分量按Jn（β）缩放。这个比例因子被称为第一类贝塞尔函数。图1显示了n=0到4且β小于或等于20的Jn（β）。

第一类贝塞尔函数，阶数为0到4，β小于或等于20。

图1 阶数为0到4且β≤20的第一类贝塞尔函数

在检查图1时，注意J0（β）在某些β值（例如2.4和5.5）处变为零。对于这些β值，载波从输出中消失。这将在本文稍后部分很重要。

接下来，让我们来看看Jn（β）的一些最重要的性质。

β较小时的输出光谱

对于调制指数（β）的较小值，我们可以近似Jn（β）如下：

方程式2

符号在哪里！表示阶乘函数。当β小到足以构成窄带FM时，方程2简化为：

方程式3

您可以通过检查图1中的曲线来直观地验证这些近似值。

对于远小于1的β值，FM信号由一个载波和一对fc±FM的边频组成，类似于AM系统。例如，图2显示了β=0.2时光谱分量的大小。

β的FM信号频谱幅值等于0.2。

图2 β=0.2时的FM信号频谱幅度

请注意，载波分量的振幅接近于1，边频的振幅近似为β/2=0.1。

奇数阶边带中的相位反转

对于第一类贝塞尔函数，正负指数n处的函数值之间存在对称关系。该关系由下式给出：

方程式4

这意味着奇数阶下侧带相对于相同阶的上侧带相位相反。对应的偶数阶边带是相同的。

为了说明这一点，让我们再次使用β=0.2的示例值。图2仅显示了该β值的光谱分量的大小。如果我们考虑边带符号，我们得到了图3中的频谱。

考虑到边带符号，β的FM信号频谱等于0.2。

图3 考虑边带符号的β=0.2的FM信号频谱 

FM信号的平均功率

所有n整数值的Jn（β）平方和等于1：

方程式5

此属性可用于确定FM信号的平均功率。考虑方程6，它再现了文章开头的FM波动方程：

方程式6

正交正弦曲线之和的平均功率是它们各自功率的总和。因此，s（t）的平均功率为：

方程式7

使用方程式5，平均功率简化为：

方程式8

值得一提的是，我们可以在不使用方程5中给出的恒等式的情况下获得相同的结果。角度调制信号可以描述为：

方程式9

为了计算平均功率，我们将信号平方并取其时间平均值。使用基本的三角恒等式，s（t）的平方可以写成：

方程式10

取该信号的时间平均值，我们得到：

方程式11

符号<。>在上述方程中，表示括号内函数随时间变化的平均值。

在求时间平均值时，我们注意到，如果载波频率（fc）足够大，则上述方程中的余弦项在直流附近的频率含量可以忽略不计。因此，FM波的功率取决于未调制波的振幅，与消息信号无关。与幅度调制相比，发射机功率的这种恒定性是角度调制的一个关键优势。

载波分量的振幅

载波的振幅按系数J0（β）缩放。这意味着载波振幅随着调制指数（β）而变化，就像边带分量一样。调制指数由下式给出：

方程式12

因此，与Am方案不同，载波分量取决于消息信号的幅度（Am）和频率（fm）。正如我们在检查图1时所注意到的，在某些β值（J0（β）等于零的值）处，载流子从输出中消失。

要理解为什么载波分量随β变化，请记住FM信号的平均功率是恒定的，等于Ac2/2。我们在上一节中得出了这一点。在没有调制的情况下，总平均功率仅集中在载波分量中。然而，当载波经历频率调制时，一部分功率被分配给边带分量。这部分的大小取决于β。

对于Ac=1，载波和调制指数之间的关系如图4所示。

左：当β等于0时，FM信号频谱集中在载波分量中。右：通过调制，信号的总功率在载波和边带之间共享。

图4 当β=0时，FM信号频谱集中在载波分量（a）中。在调制（β=0.2）时，信号的总功率在载波和边带频率（b）之间共享

FM频谱的重要边带

表1（也出现在“宽带FM信号介绍”中）列出了选定β值的Jn（β），四舍五入到最接近的百分之一。请注意，Jn（β）低于0.01的值被认为可以忽略不计，因此不包括在表中。

表1 n=0至14的Jn（β）的显著值和一些选定的β值

重要边带的数量取决于β。例如，当β≥1时，只有J0（β）、J1（β）和J-1（β）具有可观的振幅，这意味着只有载波和fc+fm和fc-fm处的边带出现在输出端。随着β的增加，额外的边带开始出现。因此，β值越高，信号传输的带宽就越宽。

当β远大于1时，将形成无限数量的边带，从而产生与调幅方案截然不同的频谱。表1中的数据可用于验证当n>β时，Jn（β）对所有n值均呈单调递减。当n明显大于β时，Jn（β）减小到远低于1。

例如，取Jn（β），β=10，n变化。当n小于10时，Jn（10）是非单调的。相比之下，当n>10时，它单调下降。这意味着，对于给定的β，当n充分增长时，Jn（β）会减小到远低于1。这只会产生有限数量的重要边带。

图5通过绘制几个β值的Jn（β）与n的关系图来证明这一点。

对于几个β值，第一种贝塞尔函数被绘制为n的函数。

图5 Jn（β）绘制为几个β值的n函数

如果我们假设Jn（β）在n>β+1时可以忽略不计，则有效边带的数量变为β+1。FM波的带宽为：

方程式13

在窄带调频的特殊情况下，如预期的那样，我们有β<1，带宽等于BW=2fm。

Jn（β）的复发关系

我们将在本系列的下一篇文章中了解更多关于方程式13的信息。现在，我想通过强调一个递归方程来总结，该方程将Jn（β）的不同阶值联系起来：

方程式14

使用这个递归方程，我们可以通过知道前两阶的Jn（β）值来确定特定n处的Jn。例如，从表1中，我们得到J0（10）=-0.25和J1（10）=0.04。将这些值代入上述方程式，得到：

方程式15

一旦考虑了舍入误差，该值可接受地接近表中提供的值J2（10）=0.25。

总结

为了更深入地了解音调调制调频波的频谱，本文研究了Jn（β）的关键性质。我们的讨论强调了上边带和下边带之间的对称性，证明了FM信号的总功率保持恒定，并表明FM信号具有有限的有效带宽。我们将在下一篇文章中讨论确定有效带宽的不同方法。