估算调频信号传输带宽的三大方法

除了介绍卡森规则进行带宽估算外，本文还解释了如何根据边带或信号总功率计算所需的传输带宽。

在本系列的早期，我们深入探讨了由单频消息信号（也称为调频波）产生的调频波频谱。正如我们所学，这个频谱由无限多个边带组成。然而，只有有限数量的这些边带包含显著的功率。在确定传输信号所需的带宽时，只需要考虑显著的边带。

但在这个语境中，“显著”是什么意思？我们如何回答这个问题将有效地决定我们在设计中愿意接受的失真水平。我们可以通过容纳更多的频谱分量来减少失真。

在本文中，我们将讨论两种定义调频信号有效带宽的不同方法。然后，我们将学习卡森法则，这是一种简单且相当准确估算方法。尽管这些方法基于对调频波的频谱分析，但它们也可以用于找到其他调频信号的传输带宽。

调频波

对于任意调制指数β，调频波的一阶调幅方程可以写为：

$$={}^{}{}^{}\cos +$$

公式 1。

其中 Ac 是载波波的振幅。

第 n 阶旁瓣分量由第一类贝塞尔函数 Jn(β) 进行缩放。图 1 显示了调制指数β为 1 时调频波的典型频谱。

图 1。 单音调消息信号 FM 信号的典型频谱。图片由 Steve Arar 提供

严格来说，FM 波的带宽是无限的。这从公式 1 中很明显。然而，对于大的 n，Jn(β)可以近似为：

公式 2.

这意味着 Jn(β)对于足够大的 n 值趋近于零。因此，FM 波的所有旁瓣并不都包含显著功率。

基于相对边带幅度的有效带宽

一种定义调频信号有效带宽的方法是忽略相对幅度低于设定阈值的边带。在数学上，我们定义传输带宽为：

$$=$$

公式3

fm 是消息信号的频率

nmax 表示在 |Jn(β)| 超过定义阈值的最高整数索引。

在公式 3 中，我们乘以 2nmax 乘以 fm，因为频谱分量以 fm 的间隔分布（见图 1）。对于给定的 β，nmax 的值可以很容易地从 Jn(β) 的表格值中确定。例如，考虑 β = 2 的 Jn(β) 以及表 1 中显示的各种 n 值。

表 1。 Jn(β) 对于 β = 2 和各种 n.

假设我们将阈值设置为未调制载波的 1%。满足|Jn(β)| > 0.01 的最高 n 值是 nmax = 4，对于β = 2，导致有效带宽 BW = 8fm。

或者，我们也可以将显著性阈值设为 1%。图 2 显示了 nmax 作为β的连续函数，适用于 1%和 10%标准。

图 2。 显著边带对数作为 β 的函数。图片由 A. B. Carlson 提供版权。

对于 1%阈值，带宽通常过于保守。另一方面，10%阈值会导致轻微但可察觉的失真。对于大多数应用，nmax 值在这两个极限之间通常是合适的。

在某些情况下，特定阈值的有效带宽作为 BW/Δf 对β的图提供。图 3 显示了 1%阈值的这种图。 

图 3。 带宽（BW/Δf）与调制指数β的关系图 。 图片由西蒙·海金提供

基于功率的方法定义有效带宽

我们也可以将有效带宽定义为包含特定比例总功率的频率范围。例如，如果所选带宽捕获了 FM 波 98%或更多的功率，那么失真通常被认为是可接受的。

让我们使用表 1 中的数据来确定β=2 时捕获 FM 波 98%或更多功率的带宽。FM 波的功率与 N 边带是：

$$={}^{}{}^{}$$

公式4。

FM 信号的总功率由下式给出：

$$=$$

公式 5。

我们想要确定满足以下条件的最小值 N：

$$\ge \times \to {}^{}{}^{}\ge$$

公式 6。

将表格 1 中的数据代入并应用性质|J-n(β)| = |Jn(β)|，我们得到：

$$+++\dots +\ge$$

公式 7。

满足上述方程的最小 N 值为 N = 3，导致在β = 2 时，有效带宽为 BW = 6fm。

卡森规则

有趣的是，如果我们考虑不同β值下 FM 波 98%或更多功率的带宽，我们会发现显著边带的数量始终为 N = β + 1。这就是卡森规则。

根据卡森规则，包含调频波98%或更多功率的传输带宽为：

$$=+$$

公式 8。

上述公式也可以写成：

$$=+$$

公式9。

其中 Δf 是最大频率偏移。请注意，公式 8 和 9 也适用于 β ≪ 1 的情况。在这种情况下，我们有一个 窄带调频波 ，其带宽为 BW ≈ 2fm。

示例 1：确定调频波的带宽

考虑一个 2 kHz 的载波，它被一个 150 Hz 的正弦信号调频。峰值频率偏移 (Δf) 是 20 Hz。这个调频波的近似带宽是多少？对于 fm = 150 Hz 和 Δf = 20 Hz，我们有：

公式10。

这是一个窄带调频信号。应用卡森法则，我们得到带宽：

$$\approx +=+=$$

公式 11。

这接近于我们从窄带调频分析中预期的 2fm = 300 Hz 的值。

图 4 展示了通过快速傅里叶变换（FFT）对信号进行处理后，在载波频率附近的已调信号频谱。 

图 4. 对于Δf = 20 Hz，fm = 150 Hz 和β = 0.133 的调频波频谱。图片由 Steve Arar 提供

注意，光标框中旁瓣分量的幅度与 J1(0.133) = 0.0665 的值一致。

让我们再用 fm = 2 Hz 和Δf = 50 Hz 重复这个练习。那么带宽会是多少？

当 fm = 2 Hz 且 Δf = 50 Hz 时，我们得到 β = 25。应用卡森公式，带宽的估计值为：

$$\approx +=+=$$

公式12。

此情况下的模拟输出频谱显示在图5中，该图显示的带宽与卡森公式一致。

图 5。 对于 Δf = 50 Hz、fm = 2 Hz 和 β = 25 的调频波频谱。图片由 Steve Arar 提供

调频带宽 对于任意消息信号

在上述讨论中，我们使用贝塞尔函数表验证了调频信号的卡森规则。一个单音调制的调频波并不能准确地反映现实世界中的情况。通常，消息信号包含各种频率。

对于任意消息信号，没有直接的公式来确定调频频谱。然而，在确定调频波的带宽时，可以将单音调制的调频分析结果推广到非正弦调制信号。在这种情况下，我们定义频偏比（D）为最大频率偏移（Δf）除以消息信号中存在的最大调制频率（W）：

公式13

抛离比类似于调幅信号的调制指数。将β替换为 D，我们可以确定显著边带分量(nmax)的数量，并使用以下公式估计所需带宽：

$$=$$

公式14。

在这种情况下，我们知道 nmax 取决于 D。我们不必使用曲线和表格来确定 nmax，而是可以通过将β替换为 D 并将 fm 替换为 W 来应用卡森规则：

$$=+=+$$

公式15。

实际上，当我们处理带限且具有有限功率的一般调制信号时，我们通常使用卡森规则作为估计 FM 带宽的一种便捷方法。

示例 2：广播 FM 电台的带宽

美国联邦通信委员会（FCC）允许商业调频广播的频率偏移为 Δf = 75 kHz。最高音频频率通常假定为 W = 15 kHz，从而得到偏移率：

公式16。

应用卡森规则，调频信号带宽为：

$$=+=+\times =$$

公式17。

实际上，广播调频频道宽度为 200 kHz，这略大于上述估计值。其目的是降低接收机的选择性要求。

总结

调频波传输中显著旁瓣的数量取决于预期应用和保真度要求。有几种方法用于确定调频波传输所需的带宽。特别是，卡森规则是一种方便的估计方法，能提供合理的精度。