交流电感和感抗

通过交流电感器对电流流动的阻碍称为感抗，它线性地取决于电源频率。

当连接到交流电源时，流过电感线圈的电流会产生一个自感电动势，该电动势与最初建立电流的电动势相反。对于包含交流电感的时间变化电路，电感线圈作为阻抗，限制了线圈中时间变化电流的流动。

电感器和扼流圈基本上是由导线绕成的线圈或环，要么绕在空心管上（空气芯），要么绕在某种铁磁材料上（铁芯），以增加其电感值，称为电感。

电感器以磁场的形式存储能量，当电压施加到电感器的端子上时，磁场被创建。通过电感器的电流增长不是瞬时的，而是由电感器自身的自感或反电动势值决定的。对于电感线圈，这个反电动势电压VL与通过它的电流变化率成正比。

这个电流将继续上升，直到达到其最大稳态条件，大约在五个时间常数时，这个自感反电动势衰减到零。此时，稳态电流流过线圈，不再有反电动势产生来阻碍电流流动，因此，线圈更像是一个短路，允许最大电流流过它。

然而，在包含交流电感的交流电路中，通过电感器的电流流动与稳态直流电压下的行为非常不同。在交流电路中，通过线圈绕组的电流流动的阻碍不仅取决于线圈的电感，还取决于所施加电压波形的频率，因为它从正值变为负值。

在交流电路中，通过线圈的电流流动的实际阻碍由线圈的交流电阻决定，这个交流电阻由一个复数表示。但是为了区分直流电阻值和交流电阻值，后者也被称为阻抗，使用术语“电抗”。

与电阻一样，电抗以欧姆为单位测量，但用符号“X”来区分它与纯电阻“R”值，并且由于所讨论的组件是电感器，电感器的电抗称为感抗（XL），以欧姆为单位测量。其值可以从公式中找到。

感抗

感抗

其中：

XL = 感抗，单位为欧姆（Ω）

π（pi）= 数值常数3.142

ƒ = 频率，单位为赫兹（Hz）

L = 电感，单位为亨利（H）

我们也可以用弧度来定义感抗，其中欧米茄，ω等于2πƒ。

交流电感值

因此，每当正弦电压施加到电感线圈时，反电动势阻碍了通过线圈的电流的上升和下降，在具有零电阻或损耗的纯电感线圈中，这个阻抗（可以是一个复数）等于其感抗。此外，电抗由矢量表示，因为它既有大小又有方向（角度）。考虑下面的电路。

带有正弦电源的交流电感

交流电感

上面的简单电路由一个纯电感L亨利（H）组成，连接到一个由表达式给出的正弦电压：V(t) = Vmax sin ωt。当开关闭合时，这个正弦电压将导致电流流动并从零上升到其最大值。这个电流的上升或变化将在线圈内感应出一个磁场，该磁场又将阻碍或限制这个电流的变化。

但在电流有时间达到其在直流电路中的最大值之前，电压改变极性，导致电流改变方向。这个方向的改变再次被线圈中的自感反电动势延迟，在仅包含纯电感的电路中，电流被延迟了90度。

所施加的电压在电流达到其最大正值之前四分之一（1/4ƒ）周期达到其最大正值，换句话说，施加到纯电感电路的电压“领先”电流四分之一周期或90度，如下所示。

交流电感的正弦波形

交流电感波形

这种效应也可以用相量图表示，在纯电感电路中，电压“领先”电流90度。但是通过使用电压作为我们的参考，我们也可以说电流“滞后”电压四分之一周期或90度，如下面的矢量图所示。

交流电感的相量图

交流电感的相量图

因此，对于纯无损耗电感器，VL“领先”IL 90度，或者我们可以说IL“滞后”VL 90度。

有许多不同的方法可以记住通过纯电感电路的电压和电流之间的相位关系，但一种非常简单且易于记忆的方法是使用助记符表达式“ELI”（发音为女孩名字Ellie）。

ELI代表在交流电感中电动势先于电流I，L在I之前。换句话说，在电感器中电压先于电流，E，L，I等于“ELI”，无论电压从哪个相位角开始，这个表达式对于纯电感电路始终成立。

频率对感抗的影响

当50Hz的电源连接到合适的交流电感时，电流将如前所述延迟90度，并在每个半周期结束时电压反转极性之前达到I安培的峰值，即电流在“T秒”内上升到其最大值。

如果我们现在向线圈施加相同峰值电压的100Hz电源，电流仍将延迟90度，但其最大值将低于50Hz的值，因为由于频率的增加，达到其最大值所需的时间减少了，因为现在它只有“1/2 T秒”来达到其峰值。此外，由于频率的增加，线圈内磁通量的变化率也增加了。

然后从上述感抗方程可以看出，如果频率或电感增加，线圈的总感抗值也会增加。随着频率增加并接近无穷大，电感器的感抗及其阻抗也会增加，表现得像开路。

同样，当频率接近零或直流时，电感器的感抗也会降低到零，表现得像短路。这意味着感抗“与频率成正比”，在低频时值较小，在高频时值较大，如图所示。

感抗与频率的关系

感抗随频率增加而增加，因此感抗与频率成正比（XL α ƒ），因为电感器中产生的反电动势等于其电感乘以电感器中电流的变化率。

此外，随着频率的增加，通过电感器的电流值也会减少。

我们可以将极低和极高频率对纯交流电感感抗的影响表示如下：

频率对交流电感的影响

在包含纯电感的交流电路中，适用以下公式：

通过交流电感的电流

那么，我们是如何得出这个方程的呢？电感器中的自感电动势由法拉第定律决定，该定律产生“自感”效应。当电流通过电感线圈时，交流电流的变化率在同一线圈中感应出一个电动势，该电动势与变化的电流相反。线圈中由其自身磁场产生的效应，该磁场由通过它的电流流动产生，被任何电流变化所反对，称为“自感”。

这个自感电动势的最大电压值将对应于电流变化的最大速率，线圈上的电压值如下：

交流电感上的电压

其中：d/dt表示电流随时间的变化率。

通过电感线圈（L）的正弦电流在其周围产生磁通量，如下所示：

正弦电流

然后，上述方程可以重写为：

感应电压

对正弦电流进行微分得到：

微分正弦电流

余弦波波形的三角恒等式c°s (ωt + 0°) = sin (ωt + 0° + 90°)实际上是一个正弦波形，偏移了+90°。然后，我们可以将上述方程重写为正弦波形式，以定义交流电感上的电压为：

交流电感器的自感电压

其中：VMAX = ωLIMAX = √2VRMS，这是最大电压幅度，θ = + 90°是电压和电流波形之间的相位差或相位角。即，通过纯电感器的电流滞后电压90度。

在相量域中

在相量域中，线圈两端的电压表示为：

交流电感在相量域中的电压

在极坐标形式中，这将写为：XL∠90°，其中：

交流电感阻抗

交流电感

交流电感的阻抗方程

通过串联R + L电路的交流

我们在上面已经看到，通过纯电感线圈的电流滞后电压90度，当我们说纯电感线圈时，我们指的是没有欧姆电阻，因此没有I2R损耗的线圈。但在现实世界中，不可能只有纯交流电感。

所有电线圈、继电器、螺线管和变压器无论使用多少匝线圈，都会有一定的电阻。这是因为铜线具有电阻率。然后我们可以将我们的电感线圈视为一个具有电阻R与电感L串联的线圈，产生可以松散地称为“不纯电感”的东西。

如果线圈有一些“内部”电阻，那么我们需要将线圈的总阻抗表示为电阻与电感串联，并且在包含电感L和电阻R的交流电路中，组合两端的电压V将是两个分量电压VR和VL的相量和。

这意味着通过线圈的电流仍将滞后电压，但滞后量小于90度，取决于VR和VL的值，即相量和。电压和电流波形之间的新角度给出了它们的相位差，正如我们所知，这是电路的相位角，用希腊符号Φ表示。

考虑下面的电路，其中纯非电感电阻R与纯电感L串联连接。

串联电阻-电感电路

交流电路中的交流电感

在上述RL串联电路中，我们可以看到电流是电阻和电感的共同部分，而电压由两个分量电压VR和VL组成。这两个分量的合成电压可以通过数学计算或绘制矢量图来找到。

为了能够绘制矢量图，必须找到一个参考或共同分量，在串联交流电路中，电流是参考源，因为相同的电流流过电阻和电感。纯电阻和纯电感的单独矢量图如下：

两个纯分量的矢量图

交流电感和电阻的矢量图

我们可以从上面以及我们之前关于交流电阻的教程中看到，电阻电路中的电压和电流是同相的，因此矢量VR按比例绘制在电流矢量上。

同样从上面可知，在交流电感（纯）电路中，电流滞后电压，因此矢量VL绘制在电流前90度，并与VR按相同比例绘制，如图所示。

合成电压的矢量图

合成矢量图

从上面的矢量图中，我们可以看到线°B是水平电流参考，线°A是与电流同相的电阻分量上的电压。线°C显示电感电压，它领先电流90度，因此仍然可以看到电流滞后纯电感电压90度。线°D给出了电源电压的合成值。然后：

V等于施加电压的均方根值。

I等于串联电流的均方根值。

VR等于与电流同相的电阻上的I.R电压降。

VL等于领先电流90度的电感上的I.XL电压降。

由于电流在纯电感中恰好滞后电压90度，从单个电压降VR和VL绘制的合成相量图表示一个直角电压三角形，如上图°AD所示。然后我们还可以使用毕达哥拉斯定理数学地找到电阻/电感（RL）电路上这个合成电压的值。

由于VR = I.R和VL = I.XL，施加电压将是两者的矢量和，如下：

电压三角形

电路的阻抗量表示电路的阻抗Z。

交流电感的阻抗

阻抗Z是对包含电阻（实部）和电抗（虚部）的交流电路中电流流动的“总”阻碍。阻抗的单位也是欧姆，Ω。阻抗取决于电路的频率ω，因为这影响电路的电抗分量，在串联电路中，所有电阻和电抗阻抗相加。

阻抗也可以用复数表示，Z = R + jXL，但它不是相量，它是两个或多个相量组合在一起的结果。如果我们将上述电压三角形的边除以I，将获得另一个三角形，其边表示电路的电阻、电抗和阻抗，如下图所示。

RL阻抗三角形

交流电感的阻抗三角形

然后：（阻抗）² =（电阻）² +（j电抗）²，其中j代表90度的相位差。

这意味着电压和电流之间的正相位角θ如下所示。

相位角

电阻与电抗的相位角

虽然我们上面的例子代表了一个简单的不纯交流电感，但如果两个或多个电感线圈串联在一起，或者单个线圈与许多非电感电阻串联，那么电阻元件的总电阻将等于：R1 + R2 + R3等，给出电路的总电阻值。

同样，电感元件的总电抗将等于：X1 + X2 + X3等，给出电路的总电抗值。

这样，包含许多扼流圈、线圈和电阻的电路可以轻松简化为一个阻抗值Z，它由一个电阻和一个电抗串联组成，Z² = R² + X²。

交流电感示例1

在以下电路中，电源电压定义为：V(t) = 325 sin( 314t – 30° )，L = 2.2H。确定通过线圈的均方根电流值，并绘制相应的相量图。

交流电感示例1

线圈上的均方根电压将与电源电压相同。如果电源的峰值电压为325V，则等效的均方根值为230V。将这个时域值转换为极坐标形式，我们得到：VL = 230 ∠-30°（伏特）。线圈的感抗为：XL = ωL = 314 x 2.2 = 690Ω。然后，通过线圈的电流可以使用欧姆定律找到：

线圈中的电流

由于电流滞后电压90度，相量图如下所示。

相量图

交流电感示例2

一个线圈的电阻为30Ω，电感为0.5H。如果通过线圈的电流为4安培。如果频率为50Hz，电源电压的均方根值是多少。

示例2

电路的阻抗为：

电路阻抗

然后，每个元件上的电压降计算如下：

元件电压

电流和电源电压之间的相位角计算如下：

相位角φ

相量图如下所示。

电压相量图

在下一个关于交流电容的教程中，我们将研究当稳态正弦交流波形施加到电容器上时，电容器的电压-电流关系，以及纯和非纯电容器的相量图表示。