用FPGA实现FFT算法

引言

　　DFT(Discrete Fourier Transformation)是数字信号分析与处理如图形、语音及图像等领域的重要变换工具，直接计算DFT的计算量与变换区间长度N的平方成正比。当N较大时，因计算量太大，直接用DFT算法进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。快速傅立叶变换(Fast Fourier Transformation，简称FFT)使DFT运算效率提高1～2个数量级。其原因是当N较大时，对DFT进行了基4和基2分解运算。FFT算法除了必需的数据存储器ram和旋转因子rom外，仍需较复杂的运算和控制电路单元，即使现在,实现长点数的FFT仍然是很困难。本文提出的FFT实现算法是基于FPGA之上的，算法完成对一个序列的FFT计算，完全由脉冲触发，外部只输入一脉冲头和输入数据，便可以得到该脉冲头作为起始标志的N点FFT输出结果。由于使用了双ram，该算法是流型(Pipelined)的，可以连续计算N点复数输入FFT，即输入可以是分段N点连续复数数据流。采用DIF(Decimation In Frequency)-FFT和DIT(Decimation In Time)-FFT对于算法本身来说是无关紧要的，因为两种情况下只是存储器的读写地址有所变动而已，不影响算法的结构和流程，也不会对算法复杂度有何影响。算法实现的可以是基2/4混合基FFT，也可以是纯基4FFT和纯基2FFT运算。

傅立叶变换和逆变换

对于变换长度为N的序列x(n)其傅立叶变换可以表示如下：

 　　　　式（１）

其中，W="exp"(-2π/N)。 当点数N较大时，必须对式(1)进行基4/基2分解，以短点数实现长点数的变换。而IDFT的实现在DFT的基础上就显得较为简单了：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　式（２）

由式(2)可以看出，在FFT运算模块的基础上，只需将输入序列进行取共轭后再进行FFT运算，输出结果再取一次共轭便实现了对输入序列的IDFT运算，因子1/N对于不同的数据表示格式具体实现时的处理方式是不一样的。IDFT在FFT的基础上输入和输出均有一次共轭操作，但它们共用一个内核，仍然是十分方便的。

基4和基2
基4和基2运算流图及信号之间的运算关系如图1所示：
（a）基４蝶形算法 （b）基２蝶形算法

　　以基4为例，令A="r0"+j