频率响应法-相对稳定性分析

为了使控制系统能可靠地工作，不但要求它能稳定，而且还希望有足够的稳定裕量，使系统在环境发生变化或存在干扰的情况下仍能工作，这即为相对稳定性的概念。

在讨论系统的稳定裕量时，首先要假定开环系统是稳定的，是最小相位系统，即开环系统的零、极点均仅位于s的左半平面，否则讨论系统的稳定裕量是无意义的。

为了说明相对稳定性的概念，图5－49为一典型的I型系统 曲线，其开环系统的传递函数为： 。根据奈氏判据可知，当 时，系统不稳定，奈氏曲线包围（－1，j0）点；当 时，系统产生等幅振荡，奈氏曲线经过（－1，j0）点；当 时，系统稳定，奈氏曲线不包围（－1，j0）点。因此直观地看，对于开环稳定的系统，要求闭环系统有一定的稳定性，不仅要求 的幅频特性不包围（－1，j0）点，而且应与该点有一定的距离，即有一定的稳定裕量。

衡量闭环系统相对稳定性的具体指标有幅值裕量 和相位裕量 。在Matlab中，相应地有专门的函数来求取上述指标：Margin。具体用法参见下面的例子。

5.5.1 用奈氏图表示相位裕量和幅值裕量

1、 相位裕量

设一开环稳定的系统的奈氏曲线 负实轴相交于G点，与单位圆相交于C点，如图5－50。对应于 时的频率 （交点C）称为增益穿越频率，又称剪切频率或交界频率。在剪切频率 处，使系统达到临界稳定状态时所能接受的附加相位迟后角，定义为相位裕量，用 表示之。对于任何系统，相位裕量 的算式为

(5-54)

式中， 是开环频率特性在剪切频率 处的相位。

不难理解，对于开环稳定的系统，若 ，表示 曲线包围（－1，j0）点，相应的闭环系统是不稳定的；反之，若 ，则相应的闭环系统是稳定的。一般 越大，系统的相对稳定性也就越好。因为系统的参数并非绝对不变，如果 太小，就有可能因参数的变化而使奈奎斯特曲线包围（－1，j0）点，即导致系统不稳定。

2、 幅值裕量

幅值裕量是系统相对稳定性的另一度量指标。如图5－50所示，开环频率特性的相角 时的频率 （交点G）处， 称为相位穿越频率，又称为相位交界频率。开环幅值 的倒数称为增益裕量，用 表示。即

(5-55)

上式表示系统在变到临界稳定时，系统的增益能增大多少。

由奈奎斯特稳定判据可知，对于最小相位系统，其闭环稳定的充要条件是 曲线不包围（－1，j0）点，即 曲线与其负实轴交点处的模小于1，此时对应的 。反之，对于不稳定的系统，其 ，如图5－51所示，闭环系统是不稳定的。

5.5.2 用伯德图表示相位裕量和幅值裕量

上述的相位裕量和幅值裕量也可在对数幅相图（Bode图）上表示。对应于图5－5

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