在多束激光混合分布下其图像定位各光斑质心位置的方法研究

摘 要：激光光斑图像的质心提取是探测器确定激光方位的重要环节，对于获取激光方位角有重要的意义。传统上的灰度重心法、高斯拟合法以及椭圆拟合法三种激光光斑质心的提取方法都无法解决激光光斑图像上出现多个激光时其各个质心的提取问题。基于此缺点本文提出一种基于EM算法，求解二维图像中多个混合高斯分布中分辨质心分布的方法。采用CCD（Charge-coupled Device）图像传感器将光学影像转化为数字信号获取其图像数据，并用其进行试验，并采用欧式距离法当做实验误差评定标准，发现图像在2个激光混合分布时效果比较好，其结果中欧氏距离最小。

关键词：激光光斑；质心提取；欧氏距离法；EM算法；混合高斯分布

随着光学的发展，激光技术作为受到各个国家军事研究的高度关注^[1]，具有破坏性的激光武器一直是各国发展的核心，为保证其打击的高效性，对目标发射的激光数目很有可能不只单束激光。基于这种情况，需要研究出一种能够规避多束激光同时打击时的方法。无论以何种方法规避，能够精准地获取激光的方位是最重要的一步。因此能准确计算出来袭的多束激光其各自质心的方位，对于规避激光武器的伤害、提高设备生存能力具有重要的意义。

求激光光斑质心的方法有多样性的特点，该技术早期有提出过一种在Hough（霍夫）变换^[2] 基础上求中心的方法，还有基于Hessian（黑塞）矩阵等求图像中心的方法，以及灰度重心法和高斯拟合法。灰度重心法或灰度质心法通过对图像坐标以及其灰度值求加权平均得到其质心。高斯拟合法比灰度重心法精度更高可是更复杂。根据激光光斑高斯分布的特征，本文提出一种在机器学习当中采用EM（最大期望）算法进行高斯聚类的方法，用其激光的二维图像带入该算法进行求解，进而得到其质心的方法。

1   常用研究方法

1.1 灰度重心法

灰度重心法策略是采用以各个点的灰度值作为权重并以此求出重心，计算式如下：

(x_z ,y_z)为计算结果质心的坐标，I ( y, x)是图像第y行x 列的灰度值。灰度重心法的优点是快速，但是在多束激光混合起来的时候无法计算各个质心位置。

1.2 高斯拟合法

在理想情况下，基于激光强度近似高斯分布的特性，我们采用一个高斯曲面去最大程度上拟合实际数据，公式如下：

高斯拟合的目标是求出式（3）中(x₀,y₀) 即高斯分布的中心也就是光斑的质心，化简公式（3）后

将公式（3）与（4）联立可得：

最后通过图像灰度值，使用最小二乘法可求得公式（4）中的系数，最后通过（5）（6）即可得到质心。

该方法虽然对于一个光斑的精度相较于灰度重心法来说较好，可和灰度重心法存在同一个问题——无法提取多个光斑混合在一起时各自质心，如图1 这种情况。

图1 多束激光光斑混合图像

2   基于EM算法提取二维图像中混合高斯分布激光光斑质心方法

本方法结合了EM 算法与高斯拟合法两种方法。通过多束激光的图像得到其训练集，然后在训练集上通过EM 算法进行求解，最终得到不同高斯分布μ 也就是其均值，在物理意义上也是其激光的质心位置。

2.1 激光图像的混合高斯分布

理想情况下激光光斑应呈现标准的二元高斯分布，其对应概率密度函数为：

其中x 是二维向量对应于空间位置坐标， μ 是二维向量的均值，也就是其高斯分布的质心，Σ是2× 2的协方差矩阵。

由公式（7）可看出二维高斯分布完全由二维向量的均值，以及协方差矩阵两个参数确定，为了体现出二维高斯分布和对于参数的关系，将其概率记为：

p (x | μ,Σ)   （8）

在多束激光的情况下，激光的分布应该是多个相互独立的高斯分布相加的和，将此称为混合高斯分布，并且列出其表达式为高斯混合分布：

该表达式中k 代表着假设在本分布中一共包含k 个混合高斯分布，每个高斯分布之间相互独立互不影响，在表达式中μ_i与Σ_i 分别代表着第i 个二维高斯分布的空间质心的均值坐标以及其协方差，也就是第i 个高斯分布组成的参数，同时a_i 为第i 个高斯分布在所有高斯分布中所占的比例也称为“混合系数”（maxture coefficeient）， a_i 满足条件a_i > 0 并且

2.2 图像灰度值与训练样本之间的转换

光斑图像中，每个激光在图像上产生的灰度值呈现正态分布，根据先验概率，可得空间中样本位于空间位置x，y 的概率为：

式子（10）中p (x, y)代表存在处于空间位置 x，y坐标下的概率，I (x, y)代表图像 x，y 坐标的灰度值，M 代表图像高度，N 代表图像长度。

以公式（10）得到的概率分布p (x, y)进行空间采样，得到训练集D = {t₁,t₂···t_m}，其中 t 为空间位置(x, y)的二维向量。

2.3 EM算法

EM（Expectation-maximization algorithm）最大期望算法是机器学习中求包含无法观测的隐变量（latent variable）的概率模型的方法，其目的是求满足模型分布最大概率的隐变量值的方法。

设X 表示以观察变量集，Z 表示隐变量集， Θ 表示模型参数。目标是求得最大概率的Θ ，则应最大化对数似然：

由于无法直接获得Z 隐变量的信息，因此可以运用对Z 计算期望，来最大化已观测数据的对数“边际似然”（marginal likelihood）：

EM 其基本原理是：当Θ 为已知参数的时候，则可以通过训练集数据通过极大似然的方法求出在当前Θ 下的使得最符合训练集分布的隐变量Z，称这一步为E 步；同理，当Z 为已知的时候，可以通过同样的极大使然估计的方法求的参数Θ ，这一步称为M 步。

E 步（Expectation）：以当前参数Θ^t 推断隐变量分布 P(Z | X ,Θ^t )，并计算对数似然 LL(Θ| X , Z ) 关于 Z期望：

M步（Maximization）: 寻找参数最大化期望似然，即：

对EM 算法总结一下，使用的是两个交替的步骤，分别为上文中的E 步与M 步。E 步与M 步的交替迭代使用，使其收敛于最大符合训练集的模型参数，一直到超过最大迭代次数或者已经收敛时，此时就可得到其解。

2.4 通过EM算法求解质心

在本文中，通过EM 算法求多束激光光斑图像以求解其各自的质心，根据公式（9）可得在此EM 算法求解模型参数为Θ = {(a_i ,μ_i ,Σ_i )} ，其中(a_i ,μ_i ,Σ_i )表示第i 束激光参数，用z_i 代替，对于给定样本集D，采用极大对数似然的方法，公式如下：

同时结合公式（9）可得：

若参数Θ 能使公式（2）最大化，则以μ_i为：

由于根据公式（4）可知， 对应于a_i，由此可得：

为便于下文更好论述以及推导，在此设

由此解得公式（17）:

取最大值，同理可解得：

在根据以上更新的参数后，进一步求得混合系数a_i ，由于a_i 是带约束的参数，因此我们考虑采用拉格朗日法求得，解之得：

2.5 阈值法对结果进行筛选

第二步需要判断均值向量来对结果进行筛选。由于激光光束的数量不确定，可能产生设定值大于实际光束数目的情况，得出的结果中可能存在其欧氏距离很小的情况，对于这种情况本文采用一个阈值的方法，当：

图2 算法流程图

3   试验结果

3.1 试验数据

本试验数据是根据CCD 探测器得到的已知高斯光斑质心在图像中位置的图像，大小均为200×200，其中图3 为只有单束激光照射在探测器上的图像，图4 则为两束激光的图像，通过对两幅图像的光斑质心提取，证明本文方法的普适性，试验数据采用的都是标准高斯椭圆光斑，通过线性增强的方法将其图像的灰度值映射到0 至255 以内，该数据暂不考虑在实际探测过程中出现的噪声。

3.2 仿真数据质心提取

对仿真数据单束激光和多束激光分别采用灰度重心法、高斯拟合法和本文所介绍的方法进行计算比较，计算三种方法得到的结果和实际结果之间的欧氏距离如表1 所示，单束激光图像图3 中，其激光质心为（100，100）。多束激光图像图4 中，存在两个激光光斑的高斯分布，其两个光斑的质心分别为（100，100）以及（130，120），计算结果如表2 所示。

图3 仿真200×200单束激光混合光斑图像

通过表1 可得出，在200×200 的图像中，在只有一束激光的光斑条件下，灰度重心法和高斯拟合法以及本文中通过EM 算法计算高斯分布参数的方法在该条件下结果基本一致，计算结果与实际结果的欧氏距离差距非常小，精度也比较好。

图4 仿真200×200多束激光混合光斑图像

通过表2 可看出，当图像中存在两束激光光斑的时候，灰度重心法和高斯拟合法存在比较大的误差，而本文方法的误差相比于这两种方法来说有大幅度缩小，更加接近真实的质心。

4   结论

结合表1 和表2 的结果，可得出结论。在光斑图像中，若只有单个激光光斑，那么使用灰度重心法，高斯拟合法以及本文方法，这三种方法得出的计算结果和真实结果差异不大。然而在出现图4 这种图像中出现两个或者出现多个激光光斑，并且激光光斑之间相互连通无法分开的情况下，灰度重心法、高斯拟合法都出现较大的误差，其原因是其算法本身的局限性，而本文方法则获得了非常小的实际误差。

参考文献：

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[6] 冯新星,张丽艳,叶南,杨博文.二维高斯分布光斑中心快速提取算法研究[J].光学学报,2012,32(05):78-85.

（本文来源于《电子产品世界》杂志2022年2月期）