系统微分方程的解―系统的全响应

一、 线性系统微分方程线性的证明

线性系统必须同时满足齐次性与叠加性。所以，要证明线性系统的微分方程是否是线性的，就必须证明它是否同时满足齐次性与叠加性。

线性系统微分方程的一般形式是

(2-5)

设该方程对输入f1(t)的解是y1(t)，则有

(2-6)

设该方程对输入f2(t)的解是y2(t)，则有

(2-7)

给式(2-6)等号两端同乘以任意常数A1，给式(2-7)等号两端同乘以任意常数A2，则有

将此两式相加即有

这就是说，若 f1(t) y1(t), f2(t) y2(t) 则 A1f1(t)+A2f2(t) A1y1(t)+A2y2(t)，即式(2-5)所描述的系统是线性的。

二、 系统微分方程的解——系统的全响应

求系统微分方程的解，实际上就是求系统的全响应y(t)。系统微分方程的解就是系统的全响应y(t)。线性系统的全响应y(t)，可分解为零输入响应yx(t)与零状态响应yf(t)的叠加，即 。下面证明此结论。

在图2-2中，若激励f(t)=0，但系统的初始条件不等于零，此时系统的响应即为零输入响应yx(t)，如图2-4(a)所示。根据式(2-5)可写出此时系统的微分方程为:

(2-8)

在图2-2中，若激励 ，但系统的初始条件等于零(即为零状态系统)，此时系统的响应即为零状态响应yf(t)，如图2-4(b)所示。根据式(2-5)可写出此时系统的微分方程为

(2-9)

将式(2-8)与式(2-9)相加得

即

式中

可见 确是系统微分方程(2-5)的解。这个结论提供了求系统全响应y(t)的途径和方法，即先分别求出零输入响应yx(t)与零状态响应yf(t)，然后再将yx(t)与yf(t)叠加，即得系统的全响应y(t)，即 。这种方法称为零输入零状态法。