为什么电路中的阻抗需要引入复数?

无他，就是图个方便计算而已。请看下题，求如图所示电路中电流的大小。

电流的频率与电压频率相同，无非就是求解幅值的变化和相位的变化。

引用一下以前我的一个知乎回答，数学中的数先是从一维数轴开始。

因电路的阻抗计算中若幅值与相角同时用一个式子表示，复阻抗正好给出了这两个方面的信息。也就是说数已经移动至二维空间，或者说只能在二维空间中才能很好的表示这个数。

电感的复阻抗为（这里 j 的就是虚数 i，因为要和电流符号区分，所以在电学里都用 j），电阻的复阻抗还是 R。

所以整个电路的复阻抗为：

复数最好用指数形式表示！于是。

电流的幅值的变化决定于，相位的变化决定于。

如果电压，那么电流，其中，。

解题举例：

①设10Ω电阻两端的电压是，求流过电阻的电流有效值 I。

解：，也即流过电阻的电流是22A，注意这个值是有效值。

②设0.5H线圈两端的电压为，求电流的表达式。

解：由，故：

又知道电流iL滞后uL编辑为90°，故电流为：。

③已知1μF 的电容两端电压为，求流过电容的表达式。

解：由，

又知道电容电流ic超前电压uc为90°，故有：。

欲求出一个变化的量，就得给它建立微分方程。微分方程有了，不会求解是吧，做个傅里叶变换，把微分方程变成代数方程。结果出来了，里面有一项，叫做复阻抗。

求如图所示电路中电流（交变量）的大小。

1）建立微分方程

 （第二项基于电感的定义）

2）求解微分方程

直接求解也是可以的，但是需要较多的微积分知识。一个比较简单的办法是对方程两边做傅里叶变换，结果是。

注释：对于任意给定的 ω，U[ω] 是一个复数，其模代表频率为 ω 的交流电压的幅值，相角代表该交流电压的相位。

于是有

上式中的 R+jωL 就是复阻抗，复数用指数形式表示！于是

这个式子表示对于任何一个频率为 ω 的交流电压 U[ω]，所引发的交流电流 I[ω] 无非就是幅值和相位上有点变化，幅值变化由决定，相位变化由决定。

不存在“电路中引入复数”这回事。对电信号的阻碍，本来就是复阻碍。电阻 R 不过是虚部为零而已。万事万物都是复的。折射率有复折射率，磁导率有复磁导率，光有复振幅。更夸张一点，万物皆波，波都是复的，因此能对波产生作用的东西也都是复的。

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