电路基础系列：交流电路篇-5复数和相量

电气工程中使用的数学加电阻,电流或直流电压使用所谓的“实数”作为整数或分数。

但实际并不是唯一的号码我们需要使用尤其是在处理频率依赖正弦来源和向量。 以及使用正常或实数,复数介绍了允许复杂的方程式解决数字是负数的平方根,√1。

电气工程这种类型的数量被称为一个“虚数”和区分一个实数的虚数字母“j“已知通常在电气工程j-operator,使用。 因此,字母“j”是放置在前一个实数表示虚数的操作。

虚数的例子有：j3 ,j12 ,j100等等，然后复数由两个不同但又非常相关的部分组成，一个“实数”加上一个“虚数”。

复数代表点在二维复杂或s平面所引用的两个不同的轴。 水平轴叫做“实轴”,而纵轴称为“虚轴”。 一个复数的实部和虚部的再保险(z)和Im (z),分别。

复数是由真实的(活性成分)和想象的(无功部分)数字可以添加,减去,以完全相同的方式使用初等代数用于分析直流回路。

数学中使用的规则和法律的加法或减法虚数是一样的实数,卫星j2 +阁下=等。唯一的区别是乘法,因为两个虚数相乘变成负的实数。 实数也可以被认为是一个复数,但零虚部j₀标签。

的j-operator有一个值相等吗√1,所以连续乘法” j ”,(j x)将导致j有以下值,1, - j和+ 1。 随着j-operator通常用来表示矢量的逆时针旋转,每一次乘法或的力量” j ”,j2j3等,将迫使矢量旋转90通过一个固定的角度o在一个逆时针方向如下所示。 同样的,如果在一个向量的乘法运算结果- j运营商相移将达到-90o,即顺时针旋转。

通过乘以一个虚数j2将旋转向量180o逆时针方向,乘以j3旋转它270o并通过j4旋转它360o还是回到原来的位置。 乘法的j10或通过j30将导致适量向量逆时针旋转。 在每个连续旋转,矢量的大小总是保持不变。

在电气工程有不同的方式来表示一个复数图形或数学。 这样的一个方式,利用余弦和正弦规则被称为笛卡儿或矩形形式。

在过去的教程相量代表,我们看到一个复数的实部和虚部的普遍形式:

• 地点:

• Z——表示向量的复数

• x——是真正的部分或活性成分

• y虚部或活性成分

• j——定义为√1

在矩形形式,一个复数可以表示成一个点在一个二维的平面称为复杂的或s平面。 举个例子,Z = 6 +阁下代表一个点的坐标代表6水平实轴和4纵虚轴如图所示。

但作为一个复数的实部和虚部的矩形形式可以是正数或负数,那么真实与虚轴必须也在积极和消极两个方向延伸。 这产生一个复杂的飞机有四个象限称为根图如下所示。

根图,横轴代表所有正实数的右边垂直虚轴和所有负实数左边的垂直虚轴。 一切积极虚数高于水平轴表示尽管所有消极的虚数低于水平实轴。 这就产生一个二维复平面有四个不同的象限贴上标签,气, QII, QIII,QIV。

上面的根图也可以用来代表一个旋转相量在复平面的点半径的大小是由相量将为每一个周围画一个完整的循环2π/ω秒。

然后我们可以进一步扩展这个想法给的定义一个复数在极地和矩形形式旋转90o。

复数也可以有“零”实部或虚部如:Z = 6 + j₀或Z = 0 +阁下。 在这种情况下,点直接绘制到真实的或假想的轴。 一个复数的角度也可以使用简单的三角函数计算计算直角三角形的角度,或测量逆时针绕着根图从正实轴。

然后角度0到90之间o将在第一象限(我)、角(θ90年和180年之间)o在第二象限(2)。 第三象限(3)包含角在180年和270年之间o而第四个也是最后一个象限(4),完成完整的圆,包括270年和360年之间的角度o等等。 在所有的四个象限相关的角度可以发现:

棕褐色-1(虚构的组件÷真正的组件)

复数的加法或减法可以做数学或矩形形式的图形。 之外,真正的部分首先加在一起形成真正的总和的一部分,然后虚部形成的虚部和和使用两个复数这一过程如下一个和B作为例子。

两个向量定义为,一个= 4 + j - 1和B: = 2 + j3分别。 确定两个向量的总和和差异在两个矩形(+ jb)形式和图形作为根图。

除了

减法

的复数乘法矩形形式服从或多或少相同的规则对于正常代数以及一些额外的规则的连续乘法j-operator地点:j2= 1。 举个例子,我们一起从上面两个向量相乘一个= 4 + j - 1和B: = 2 + j3将给我们下面的结果。

数学上,分工的复数矩形形式更难以执行,因为它需要使用分母共轭函数分母方程转化为一个实数。 这就是所谓的“合理化”。 然后分工的复数是最好使用“极坐标形式”,稍后我们将看看。 然而,例如矩形形式让发现的价值向量一个除以向量B。

的复共轭,或者只是共轭找到一个复数的扭转复数的代数符号虚数只有在保持实数的代数符号相同的和确定的复共轭z符号z使用。 例如,的共轭z = 6 +阁下是z= 6 -阁下,同样的共轭z = 6 -阁下是z= 6 +阁下。

为共轭复数根图上的点有相同的水平位置与原始复数实轴,但相反的垂直位置。 因此,复杂的轭合物可以被认为是一个复数的反映。 下面的示例显示了一个复数,6 +阁下和其在复平面的共轭。

复数及其复共轭的总和永远是一个实数正如我们所看到的。 然后添加一个复数及其共轭给结果作为实数或活性成分,而他们的减法了虚数或活性成分。 的共轭复数用于电气工程是一个重要的元素的视在功率来确定交流电路使用矩形形式。

与情节点在复平面矩形形式,极坐标形式复数的写的大小和角度。 因此,提出了极坐标形式向量为:Z =一个∠±θ,地点:Z是极性的复数形式,一个向量的模和级吗θ其角或论点的吗一个这可以是积极的还是消极的。 点的大小和角度仍然一样上面的长方形形式中,这次是在极坐标形式表示点的位置在一个“三角形式”,如下所示。

作为一个点的极坐标表示法是基于三角形式,我们可以用简单的三角形的几何和特别是三角学和毕达哥拉斯定理在三角形发现大小和角度的复数。 当我们记得从学校,三角函数处理双方之间的关系和三角形的角度我们可以描述双方之间的关系为:

再次使用三角,角θ的一个给出如下。

然后在极坐标形式的长度一个和它的角代表复数而不是一个点。 同样在极坐标形式,共轭复数具有相同的大小或模角的符号,变化,例如共轭6∠30o将6∠- 30o。

在矩形形式我们可以表达一个向量的直角坐标系中,横轴是实轴,纵轴是虚轴或j分量。 在极坐标形式这些真实和虚构的轴是由“一个∠θ”。 然后使用上面的例子中,矩形形式和极坐标形式之间的关系可以被定义为。

我们也可以从矩形形式转换为极坐标形式如下。

矩形形式最适合加减复数以上我们看到,但是极坐标形式通常是更好的乘法、除法。 一起用两个向量在极坐标形式,我们必须首先把两个模量或他们的角度大小,然后添加在一起。

乘在一起6∠30o和8∠- 45o在极坐标形式给我们。

同样地,一起把两个向量在极坐标形式,我们必须把两个模量,然后减去他们的角度如图所示。

幸运的是今天的现代科学计算器建立数学函数(检查你的书),允许简单的矩形转换成极坐标形式,(R→P)和从极性矩形形式,(R→P)。

到目前为止,我们已经考虑复杂的数字矩形形式,(+ jb)和极坐标形式,(一个∠±θ)。 但也有三分之一表示复数方法相似的极坐标形式对应的长度(大小)和相位角正弦信号但使用自然对数的基础,e281 = 2.718 . .复数的价值。 第三个方法被调用指数形式。

的指数形式使用的三角函数sin (罪)和余弦(因为)一个直角三角形定义的值的复指数作为旋转点复杂的飞机。 指数形式的发现基于点的位置欧拉的身份命名瑞士数学家欧拉和给出:

然后欧拉恒等式可以表示为以下复平面旋转相量图。

我们可以看到,欧拉身份非常类似于上面的极坐标形式,它告诉我们,等一个e jθ1级的也是一个复数。 我们不仅可以复数的指数形式很容易转化为极坐标形式如:2e j30= 2∠30, 10e j120= 120∠或6e j9090 = 6∠,但欧拉身份也给了我们一种复数的指数形式转换成矩形。 之间的关系指数,极地、矩形定义一个复数形式给出。

到目前为止,我们已经看到不同的方式来表示一个旋转向量或一个固定使用复数向量定义在复平面上一个点。 相量表示法是一个过程,构建一个复数振幅和相位角的正弦波形。

然后相量表示法或相量变换,有时被称为转移正弦函数的实部:一个(t)=一个mcos(ωt±Φ)从时域到复数域也称为频域。 例如:

请注意√2将最大振幅转换成一个有效的或均方根值和相角的弧度,(ω)。

然后总结本教程复数在电气工程和复数的使用。

• 复杂的数字由两个不同的数字,一个实数+虚数。

• 虚数是区分一个实数j-operator的使用。

• 数字与字母”j在确定了它作为一个在复平面虚数。

• 根据定义,j-operatorj≡√1

• 可以添加虚数,减去,增加和分裂一样的实数。

• ”的乘法j“通过”j“让j2= 1

• 在长方形的复数形式是由一个点在复平面上的空间。

• 在极坐标形式复杂的数字是由一条线的长度是振幅和相位角。

• 指数形式的复数是由一条线和相应的角度,使用基本的自然对数。

• 一个复数可以在三种方式之一:Z = x +司法院»矩形形式Z =一个∠Φ»极坐标形式Z =一个e jΦ»指数形式

• 欧拉恒等式可以用于复数的指数形式转换成矩形形式。

在前面的教程包括这个我们已经看到,我们可以使用相量表示正弦波形和振幅和相位角可以用复数的形式写的。 我们也看到了这一点复数可以在矩形,极地或指数形式之间的转换每个复数代数形式包括加法、减法、乘法和除法。

在接下来的几个教程与AC系列电路的相量关系,我们将看看一些常见的被动电路元件的阻抗和画出相量图的电流通过组件和在它开始交流电阻的电压。

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