开关电容梳状滤波器幅频特性的深入分析

　　最基本的开关电容电路是由电子开关和电容组成的，主要应用是构成各种低通、高通、带通、带阻等开关电容滤波器(Switched-Capacitor Filter，SCF)。将开关电容电路与运算放大器结合，组成的开关电容有源滤波器具有很多奇特的性质，但由于引入了电子开关，对电路特性进行严密分析变得异常困难，目前已有的分析方法都只是在一定条件下从一个侧面进行近似分析，本文立足于最基本的电路理论，借助计算机系统对其进行复杂而严格的分析计算，最终得到了具有普遍意义的结论，上述文献的结果只是该普遍性结论的特例。

　　1 SCF电路

　　开关电容有源滤波器电路如图1(a)，其中S1和S2是由周期为2T的方波信号控制的理想电子开关，方波控制信号p(t)波形如图1(b)，其占空系数为0.5。即在2kT<t<(2K+1)T期间两开关接通A点，在(2K+1)T<t<(2K+2)T期间两开关接通B点，其中K=0，1，2，…，是时段编号。

　　2 时域法特性分析

　　时域分析法的思路是根据图1的电路结构建立电路的微分方程(以输出电压为研究对象)。转换周期为2T的电子开关的方波控制信号可表示为周期为2T的周期信号p(t)与单位阶跃信号ε(t)的乘积：

　　式中：k=0，1，2，…。fT=1／(2T)为开关频率，电路在k时段的时域响应(输出电压)表示为hk(t)，并设：

　　(1)电容C在t=0_时刻电压为零(0_，kT_等带下划线符号表示相应时刻的前瞬，下同)，即：

　　(2)因为狄拉克δ函数激励下的零状态响应h(t)的傅里叶变换即为电路的频率响应函数，即系统(频谱)函数H(Ω)，故设电路输入信号(激励)为δ函数，即：

　　由于电子开关周期性切换，RC电路对外电路的影响表现为：下一时段的输出电压初值是上一时段末时刻输出电压值乘(-1)，即：

　　图1(a)中理想运放反相端为虚地，第0时段(即k=0，0≤t<T)电路响应h0(t)的微分方程为

　　由式(8)可见，第k段的非零值时区为(kT，(k+1)T_)，即各时段非零值区间互不重叠，对hk(t)关于k求和，得开关电容电路(对外)的单位冲激零状态响应h(t)为：

　　特别注意，求和式是一周期为2T的周期方波p(t)与单位阶跃信号ε(t)的乘积，对上式取Fourier积分变换即得到开关电容电路系统频谱函数(用j表示虚数单位，下同)：

　　也可以根据式(1)定义的周期为2T的开关方波信号p(t)，将式(9)改写为：

　　易证式(13)与式(10)完全一致，故其幅频特性∣H(Ω)∣仍与式(11)相同。