分形理论在天线技术中的应用

1 引言

随着无线通信技术的发展和移动通信终端设备的普及，特别是近年来人们对小型化、多频带、集成化天线的 迫切需求，使天线技术得到了充分的发展。但是，传统的天线在几何形状上基本上都是基于欧几里德几何的设计。虽然，随着天线技术的不断发展出现了微带天线， 具有低剖面、重量轻、成本低，可与各种载体共形，适合印刷电路板技术批量生产、易于实现圆极化、双极化、双频段工作等优点，但其致命的缺点是窄带性，从而 限制了它的广泛应用。因此，迫切需要运用新的理论和方法，探索现代天线的设计，解决传统的天线设计中出现的问题和矛盾。研究发现，将分形几何应用到天线工 程中，可设计出尺寸和频带指标更好的分形天线。

2 分形天线

“分形”这一概念是由法国 数学家B.Mandelbrot 于1975年首次提出的,“分形（Fracta1）”这个名词即拉丁文的“破碎”。分形几何就是研究无限复杂而具有特定意义下的自相似图形和结构的几何学，自相似就是局部的形态与整体形态的相似，分形具有两大特征：自相似性和空间填充性(即分数维)。

所谓分形天线，是指几何属性上具有分形特征的天线。世界上第一个分形天线是由美国科学家Dr．Nathan Cohen 于1988年完成的，而对分形天线进行系统的研究是从1995年8月Cohen 发表他的第一篇有关分形天线方面的文章开始的。随后，国际上很多大学和科研机构开始对分形天线进行研究。分形天线是分形电动力学的众多应用之一。天线与阵 列的分形设计是电磁理论与分形几何学的融合，如我们熟悉的螺旋天线和对数周期天线等一类频率无关天线都是分形天线，它已经存在多年，但直到分形技术应用 后，它的性能才得以充分的理解。

传统的微带天线要实现其双频和多频工作通常需要采用多个辐射单元的天线或电抗性负载贴片天线或多频介质谐振 天线，这些都增加了天线的复杂性，同时，也增加了制作的难度和成本。现代无线通信要求用低剖面、小尺寸、多频带（宽频带）、可集成的天线，分形天线能更好 的满足这种要求。分形是通过迭代产生的分数维自相似结构，其整体与局部、局部与局部之间都具有自相似性。因此，分形是一种与标度无关的几何，与宽带天线的 频率无关性比较相似。

将分形应用于天线的设计主要是用来实现天线小型化和天线的多频特性，分形天线解决了传统天线的两个局限性：

(1) 通常天线的性能都依赖于天线的电尺寸。这就意味着对于固定的天线尺寸，主要天线参数（增益、输入阻抗、方向图和副瓣电平等）将随着工作频率的改变而改变。 分形的自相似性使分形天线有多频和宽频特性。(2) 分形的空间填充性，使一些天线的尺寸得到减缩。

分形天线的研究和应用，在军事和民用方 面都有着巨大的潜力，尤其在无线、卫星和移动通信系统中将会发挥巨大的作用，有着非常广阔的市场前景。国外在分形天线单元和分形天线阵列研究方面已取得实 质性进展，但国内在这方面的研究还很少，分形天线是分形理论和天线技术的融合，表现出与传统天线相比的许多优势，是近几年天线领域的研究热点。

2.1几种常见的分形天线

分 形几何天线的形成主要是通过迭代的方式产生的，这就使得分形天线具有自相似性。如正三角形四等分成四个小三角形，挖去中间的一个，把剩下的三个小三角形四 等分挖去中间的一个，如此无限的进行下去，面积将趋于零、边长增加、由无穷多线段组成的Sierpinski Gasket，如图2所示，其分维数为ln3/ln2。

（a）Koch天线形成过程 （b）Koch双极天线
图1 Koch 分形天线

图2 Sierpinski Gasket分形天线的形成

图3 Koch雪花分形天线

图4 Hilbert曲线分形天线

图5 Koch分形环和Minkowski分形环
图6 Sierpinski Gasket/Carpet 分形天线

2.2分形天线的特性分析

由 于分形几何两个独特的特征：自相似性（self-similarity）（或自仿射性self-affinity）和空间填充性（space- filling），结合天线的特征，使得分形几何在天线工程领域中的应用有了突破性的发展。使天线在尺寸大小和频带宽窄以及多频带等方面的性能与传统天线 相比有了极大的改善。

宽频带天线的重要特征是其性能与频率无关，如我们熟悉的螺旋天线和对数周期天线等一类非频变天线（即频率无关天线）都 是分形天线。当频率变化时能保持其阻抗和方向图特性不变，即以频率为尺度时，其电性能不变。分形几何是一种与标度无关的几何，具有相似的结构，这意味着分 形天线形状在不同的尺度变化下保持相似性，从而具有相似的电特性，形成多频带天线，从这一点上分析，研究分形几何与天线的关系有其必要性。

设计的Sierpinski地毯分形微带天线如图7，仿真和计算结果都表明，Sierpinski地毯分形微带天线具有多频带性，且最宽的频带 达到中心频率的47.1％。Sierpinski垫片分形天线也具有多频带性，这也证明了分形天线的多频带特性。实际上，不仅 Sierpinski分形天线及其变形分形天线表现出多频带性，而且分形树天线、随机分形天线也具备同样的特性。例如，利用等效RLC电路模拟法研 究Dendrite类型的印刷分形天线发现，Dendrite类型的随机分形天线在0.4-15GHz频率范围内也具备较好的宽带性能。

我 们知道，经典的欧几里德几何研究的对象是规则而光滑的几何形状，而分形结构是由迭代产生的复杂形状，使一些天线的尺寸缩减成为可能。当然，分形严格来说， 它是通过无限次的迭代而产生的复杂的几何图形，在天线的应用中我们一般只进行有限次的迭代，这并不影响天线的性能。与传统的天线相比，它更有效的占据空 间，也就是分形天线的空间填充性，使得它在很小的空间内能有效的耦合从馈电传输线到自由空间的能量。通过分形环和分形双极子天线与线性环和双极子天线的比 较得出：分形天线的空间填充性使得天线的尺寸缩小。实验也证明了这点：Koch曲线分形单极子天线如图1、Koch雪花如图3、Minkowski分形环 天线如图5，它们的谐振频率都随着迭代次数的增加而降低。这里，将着重讨论Koch曲线的分形天线的尺寸缩减性能。