一种改进的小波阈值信号去噪方法

摘要 为改进滤波效果，提高去噪质量。通过分析软硬阈值去噪的原理和方法，为小波阚值信号处理提出了一种改进的去噪方法。该方法综合了软硬阈值的特点，对其参数进行优化设计，通过调节参数值以更好地获得阈值估计。针对改进后的去噪算法，通过Matlab仿真比较了传统的小波软硬阈值算法与该算法的消噪效果，结果表明，提出的方法有更好的消噪效果和稳定性。
关键词 小波阈值去噪；阈值函数；信噪比；均方误差

小波变换与傅里叶变换、窗口傅里叶变换相比，它是一个时间和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了傅里叶变换不能解决的许多问题。
小波变换被誉为“数学显微镜”，是调和分析发展史上里程碑式的进展。小波理论被认为是对傅里叶分析的重大突破，是近年来信号处理领域的研究热点，许多学者将小波在理论上的研究成果应用到诸如图像压缩、特征提取、信号滤波和数据融合等方面。小波之所以在信号处理领域具有很大的优势，在于小波变换可以获得信号的多分辨率描述，同时，小波变换具有丰富的小波基可适应不同特征的信号。随着小波理论的发展，Mallat提出了模极大值重构滤波，Xu提出了空域相关滤波和Donoho提出了小波域阈值滤波来消除噪声。一般地，不同性质的噪声需要采用不同的消噪方法处理。
上述算法都存在参数的选取问题，不同的参数选取对滤波的效果会有一些差异。Donoho的传统小波阈值去噪方法的实现最简单、计算量最小。但其在理论上找到的最优通用阈值，实际应用中效果并不理想。因此，文中在Donoho的传统小波阈值去噪方法的基础上，改变了小波阈值函数的部分参数得到了一种新的小波阈值函数，既避免了硬阈值函数的不连续性，又可以自适应去噪，从而有效地保存了信号的边缘信息。仿真结果表明，改进后方法有更好的去噪性能。

1 小波阈值的去噪原理
小波变换具有一种“集中”的能力。信号经小波变换后，可以认为由信号产生的小波系数包括有信号的重要信息，其幅值较大，但数目较小，而噪声对应的小波系数幅值小。通过在不同尺度上选取一合适的阈值，并将小于该阈值的小波系数置零，而保留大于阈值的小波系数，从而使信号中的噪声得到有效的抑制，最后进行小波逆变换，得到滤波后的重构信号。
小波去噪的基本思路如图1所示。信号先经过预处理，然后利用小波变换讲信号分解到多尺度上，再对每一层小波系数进行阈值处理，最后对处理后的小波系数进行信号重构。

设一个含噪声的一维信号模型可以表示为f(i)=s(i)+n(i)，其中s(i)为原始信号，n(i)为方差σ2的高斯白噪声，服从N(0，σ2)。
1．1 小波硬阈值去噪的步骤
(1)对信号求小波变换。
(2)除了最粗尺度信号外，将各细节信号作阈值处理，阈值t取为，当某位置小波变换值大于阈值时，保留原值，否则置零，用公式表示为

(3)利用小波变换重构，求出信号的滤波值。
1．2 小波软阈值去噪的步骤
(1)对信号求小波变换。
(2)除了最粗尺度信号外，将各细节信号作阈值处理，阈值t取为，当某位置小波变换大于阈值时，向着减小系数幅值的方向作一个收缩t，否则置零，用公式表示为

其中，sgn(x)为符号函数。