基于代数方法分析FIR滤波器

　　表1:等式中多项式的所有根[2]

　　共有 14 个根，因为是 14 级多项式（第 15 级是常数项，也就是 z 的零次方），其中 4 个是实数，其余为共轭复数。还记得求解二次方程的经典公式吗？当平方根中的表达式为负时，就会形成根的虚数部分。正负号说明有两个表达式，代表虚数不分彼此相反。

　　把所有项（z 的根）相乘，写成因数形式。将复杂对结合为平方项，得出理想的实数系数，例如将共轭复数 x+jy 和 x-jy 相乘：

　　公式3

　　对表 1 中所有根或根对都采取这种算法（选择实部相同的两个根），我们得到等式 4:

　　公式4

　　为了确保正确，我再次对等式[4]做乘法（利用 Excel），图 2 说明我们返回了相同的滤波器。

　　顺便说一句，可直接对脉冲响应使用 Excel 的 FFT 函数来获得响应结果。如果手头没有仿真器，还可以使用另一种方法来计算频率响应。滤波器在脉冲响应中只有 15 个有用的时间点，我用额外的零值将它扩展到 1024 点，得到一个具有理想频率间隔的平滑 FFT 图。

　　不过您可能会感到不解，做了这么多我们到底学到了什么？其实，有用的东西在于，因数的积代表滤波器行为。滤波器包括一系列连接块，每个块都被因数赋予一个多项式，从而形成小的滤波器。通过对 FIR 滤波器的大多项式因式分解，我们能获得一系列小滤波器（每个具有 2 个或 3 个tap加权），串联起来就能获得与原滤波器相同的滤波器行为。

　　现在，IIR 滤波器通常被设计为二级串联形式（即二次方程）。人们很少关心 FIR 滤波器的等效因式分解情况。这是因为 FIR 滤波器的实施已经很简单了，因此细究也没什么优势。不过，在对 FIR 设计软件得出的系数集进行分析时，这仍是很棒的工具。

　　我的主要目的并非是用这些工具拆分别人的 FIR 滤波器，而是用来发现因数本身的行为。我们随后就能分别操纵每个因数，进而实现我们所需的功能。如果我们从头创建某些因数，每个因数都能完成有用的功能，再将其组合在一起成为多项式，那么多项式系数也就是能够同时完成所有功能的 FIR 滤波器的系数。

　　图2:将等式[4]相乘所得多项式的响应情况

　　不妨考虑一下，我们的 FIR 滤波器在阻带有三个空值（图 1 和图 2）。我们将多项式[4]进行因式分解后，有三个因数是常数项（即 z^0 的系数）。这并不是巧合。下次，我们要谈谈怎么驱动这一进程，让因数满足特定的阻带行为。这将说明好的滤波器设计不止一个根！