开关电容滤波器频域分析
1 开关电容滤波器频域分析 图1（a）所示是一种常用的开关电容滤波电路，它既有滤波作用，又有放大作用。图中的K1和K2是由脉冲信号控制的双刀双掷同步电子开关，其控制信号p(t)是频率为f0的方波，如图1（b）所示。当p(t)为高电平时，电子开关接到A（如实线所示），当p(t)为低电平时，电子开关接到B（如虚线所示）。 考虑到运算放大器输入负端为虚地，流经反馈支路的电流i(t)(设定方向如图中箭头所示)与输入电压vi(t)之间的关系为： vi(t)=-R1i(t) (1) 式（1）的傅立叶变换式为： Vi(ω)=-R1I(ω) (2) 式（2）中的Vi(ω)和I（ω）分别表示vi(t)和i(t)的频谱。 对于反馈支路，由于电子开关的作用，电流i(t)通过电子开关周期性地变换方向给RC并联电路交替充电，这相当于对i(t)周期性地乘以+1和-1，这样就可以用 i"(t)=p(t)%26;#215;i(t) (3) 来表示流经RC积分电路的电流。 设方波p(t)的周期为T0，角频率为ω0=2π/T0，如图1（b）所示。这样的周期函数可以展开为如下指数形式的傅立叶级数： 
将（4）式代入（3）式，得： 
对（5）式进行傅立叶变换，并利用F[x(t)exp(jω1t)]=X(ω-ω1)的频移特性，得： 
式中，I"(ω)为i"(t)的频谱，I（ω）为i(t)的频谱。根据傅立叶变换的特性，对于实信号i(t)，其频谱I（ω）的实部为偶函数，虚部为奇函数，所以式（6）可以改写为： 
可见，电子开关的作用是使i"(t)的频谱移到了ω0的各奇次谐波处，相对幅度分别为1，-1/3，1/5，-1/7…。 对于角频率为ω的信号，R和C相关联的复阻抗为： 
由式（7）可知，由于电子开关的作用，流经Z的电流I"(ω)是由很多不同的频率分量组合而成的，对于其中的每个分量，RC并联电路所呈现的复阻抗也有所不同。针对其中的某个频谱分量I（ω-（2n-1）ω0）,RC并联电路的复阻抗为： 
所以，电路的输出电压Vo(t)的频谱V0（ω）可以看成是I‘（ω）的各分量与Zn相乘得到的电压分量的频谱组合而成，即： 
式中的“*”表示卷积。 结合式（2），可得到图1（a）电路的频率响应函数为： 
2 等效噪声带宽 由式（13）可知，图1（a）所示电路是一个梳状滤波器，各通带位于控制脉冲方波基频f0及其奇次谐波处。RC越大，则各梳齿通带的频带越窄，抑制噪声的能力越强。 衡量电路抑制噪声能力的一个重要指标是等效噪声带宽。根据参考文献，电路系统的等效噪声带宽为： 
式中，A0表示最大电压增益，对于式（13）所表示的幅频响应，|A0|=4R/（πR1）。 将式（13）代入式（14）得： 
可见，增加开关电容滤波器的时间常数RC，就可以减小其等效噪声带宽，提高其抑制噪声的能力。 3 仿真结果 对图1（a）所示的电路，取R=R1=10kΩ、C=2μF，电子开关采用CD4066，控制方波频率为f0=100Hz时，根据式（13）计算出的幅频响应曲线（实线）和利用MULTISIM的仿真结果（虚线）如图2所示。可以看出，两者符号得较好，验证了文中理论推导的正确性。
本文利用频域方法对一种常用的开关电容滤波器电路进行了分析，计算出了其等效噪声带宽，并进行了仿真研究。所得结果与时域方法分析的结果一致，但是分析推导的过程要比参考文献中的相应过程简洁得多。
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