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机器人控制系统运动学方程

作者:时间:2013-03-12来源:网络收藏


现在,如果我们考察一小段f(x)的变化区间,我们可以将这个区间近似成线性关系,有如下等式:



上面的等式在基础微积分学通常被称为斜率局部逼近,可以写成下面的形式:



如果前面的表达式再重写一次,我们可以得到以x变化量为参数的等式:



现在,让我们将同样的思想,应用到这个等式上。考虑到我们有一个非线性函数g=I(k),用于确定基于估计方位(k)和 估计脚长度(g)。从设备反馈,我们也知道脚的实际长度(I)。我们的估值误差就是e=g-l,,目标是如果估值误差不符合要求就为方位(k*)从新确定一个估计值。然后重复使用上面的方法:



上面的等式看起来很熟悉,它基本上就是我们在之前的简单微积分例子中展示的方程。我们可以简单地再一次重写这个方程,以得到方位 (k*)的新估值表达式:



矩阵dI(k)/dk就是我们所说的Jacobian矩阵。在将Jacobian矩阵应用于我们的上述等式之前必须先将其翻转,对于六阶矩阵就需要6×6求逆矩阵,这是一个复杂的数学推导。一旦姿态的新估计值计算出来,这个过程就可以再次重复,直到误差(e = g – l) 小于某个可以接受的级别。

如果反向运动方程已知,如下就是通用前向运动方程的推导步骤:
1.估计平台的初始姿态(k)。对于运动控制器,这通常就是初始受控姿态。
2.基于估计值,计算脚长度,使用反向运动方程(g=I(k))。
3.通过将此脚长度与从编码器获得的当前实际脚长度进行比较得到(e = g – l),如果误差大小小于某个限制,此算法就将当前值收敛于k,并且跳到第6步,如果误差超过此限制,继续第4步。
4.使用反向Jacobian矩阵产生新的估计值 (k*=k-inv(dI(k)/dk)*e)。
5.用第4步的结果更新估计值。
6.从第2步重新开始迭代。这个算法并不仅仅适用于六自由度系统,只要反向运动方程已知,它就可以用于推导任何系统的前向方程(有收敛解的系统)。

总结

一个强壮的控制系统的方法的关键就是运动方程,这些方程不仅仅描述了系统的几何结构,他们也使得具有足够处理能力和速度的现代运动控制器,能够完成必要的计算,以提供对系统的平滑运动控制。运动方程通常在实时领域可以直接求解,然而,对于一些复杂系统,直接求解无法实现,可以采用一些算法,进行求解。高性能的现代控制器提供了特定的结构,可以在内固化这些等式,为很多领域提供了开发系统的可能性。

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