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机器人控制系统运动学方程

作者:时间:2013-03-12来源:网络收藏


沿着线段作移动,我们希望在标准3D笛卡尔坐标系中工作。笛卡尔坐标系中的一个点由(x, y, z)表征,从直观上说,这个坐标系更便于进行线段位移控制。例如,方形的运动轨迹由4条线段组成,线段运动就是笛卡尔坐标系中最基本的运动模式。问题转化为:我们如何在这两种坐标系统进行转换。答案是运动方程。运动方程可以将笛卡尔坐标系(x, y, z)与起重机球坐标系(r, θ, Φ)联系在一起。

在进一步探讨之前,让我们快速地判断一下,为什么这些方程是必要的。如果用户想要在笛卡尔坐标系下控制运动路径,他/她就需要确定一条由一系列(x, y, z) 坐标位置组成的轨迹。当使用运动控制器时,对于很多种类的运动,明确地指明运动轨迹是没有必要的。运动控制通常产生一个运动轮廓(一系列(x, y, z)坐标位置)用于控制运动,例如点到点运动就意味着笛卡尔坐标系下的直线运动。如果我们知道受动物体的目标(x, y, z)位置,然后就可以反推运动方程,运动控制器就可以计算出如何控制实际的起重机(包括起重臂长度、倾斜角和回转角——(r, θ, Φ))

前向运动方程更多地用于初次校准。他们可以用于测量反馈位置,并将 (r, θ, Φ) 结果转换为用户更加关心的(x, y, z)坐标。这个过程也可以用于确定安装位置,和用于将任意位置的起重机坐标初始化为相对的(x, y, z)坐标。

由此可见运动方程的必要性,现在就该讨论如何解运动方程了。先从反推开始,我们希望得到起重机的(r, θ, Φ)坐标:



实际上依靠对球坐标系/笛卡尔坐标系的观察就可以解这个等式,使用一些三角公式,可以得到如下等式:



观察上面第三个等式,Φ是由关于r的等式表述的,而r又可由第一个等式中的(x, y, z)解出。前向运动方程的形式类似:



通过观察,这几个方程同样可以轻松解出:



更复杂的例子——6自由度Stewart六脚平台

Stewart六脚平台在很多场合都有应用,包括自动检测、手术、人造卫星和望远镜定位以及机械仿真等等。六脚包括6个独立的受控执行器(长度),在一端汇聚到一个固定的基座,另一端与一平面平台连接,允许6个自由度,(α (roll), (pitch), γ (yaw), x, y, z)。几何学实例如图3所示。



图3 Stewart六轴平台在很多场合都有应用,包括自动检测、手术、人造卫星和望远镜定位以及机械仿真等等。来源: ACS Motion Control

对于此系统,反推可以告诉我们:对于给定的(α, , γ, x, y, z),可以知道执行器的长度(l1, l2, l3, l4, l5, l6)是多少,还可以知道姿态(P)。前向方程用于计算姿态P,用执行器的脚长度I表示。前向运动方程是封闭的方程组,传统计算方法是不可解的。但是,可以通过使用牛顿迭代法来解此前向方程,下文将作讨论。

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