自动控制系统的设计--基于根轨迹的串联校正设计

校正后系统的开环传递函数为

相应的静态速度误差系数为： 。

比较未校正系统和校正后系统的根轨迹可见，校正后系统的 从0.8减到０.7，这意味着调整时间略有增加。如果对此不满意，则可重新选择希望闭环主导极点的位置，且使其 值略高于0.8。

6.4.3 迟后—超前校正
由上两节的讨论可知，超前校正主要用于提高系统的稳定裕度，改善系统的动态性能，而迟后校正则可以减少系统的稳态误差。由此设想，若把这两种校正结合起来应用，必然会同时改善系统的动态和静态性能，这就是迟后—超前校正的基本思路。

当希望的闭环主导极点Sd位于未校正系统根轨迹的左方时，如只用单个超前网络对系统进行校正，虽然也能使校正后系统的根轨迹通过Sd点，但无法使系统在该点具有较大的开环增益，以满足静态性能的需要。对于这种情况，一般宜采用迟后—超前校正。

设迟后—超前校正装置的传递函数为

其中Gc1(s)起迟后校正作用，它使系统在Sd处的开环增益有较大幅度的增大，以满足静态性能的需要；Gc2(s)起超前校正作用，利用它所产生的相位超前角φc2使根轨迹向左倾斜，并通过希望的闭环主导极点Sd，从而改善系统的动态性能。

用根轨迹法进行迟后—超前校正的一般步骤为：

1）根据对系统性能指标的要求，确定希望闭环主导极点Sd的位置。

2）设计校正装置的超前部分Gc2(s)。设计时要兼顾到既使Gc2(s)在Sd处产生的相位超前角φc2满足Sd点的相角条件，又使Gc2(s)极点与零点的比值β足够大，以满足迟后部分使系统在Sd点的开环增益有较大幅度增大的需要。

3）根据所确定的β值，按迟后校正的设计方法去设计Gc1(s)。

4）画出校正后系统的根轨迹。由根轨迹的幅值条件，计算系统工作在Sd处的静态误差系数。如果所求的值小于给定值，则需增大β值，应从步骤2）开始重新设计。

下面以实例说明这种校正的具体步骤。

例6—9　校正前该系统的开环传递函数为

要求校正后具有下列的性能指标：阻尼比 ；无阻尼自然频率 ；静态速度误差系数 。试设计一迟后—超前校正装置。

解（1）根据给定的性能指标，求出希望的闭环主导极点为

（2）设计校正装置。超前部分 在 处应提供的超前角

令 的零点 ，以抵消原系统的一个开环极点。这样设计不仅使校正后系统的阶数降低，绘制根轨迹方便，而且一般易于实现希望闭环极点的主导作用。在图6-24所示的s平面上，以 点为顶点，点 与-1点的连线为边，向左作角 ，该角的另一边与负实轴的交点 ，这就是所求超前部分的极点。由此可见， ， 。

（3）经过超前部分校正后，系统的传递函数为

据此，作出相应的根轨迹，如图6-24中的实线所示。根据根轨迹的幅值条件，求得系统工作在 点时的增益 ，对应的静态速度误差系数为

显然， 不能满足给定指标的要求，所要增大的倍数 应由迟后部分 来提供。由此可见，上述确定的β=4能满足将静态速度误差系数提高3.35倍的要求。

（4）设计校正装置的迟后部分 。

由点 向左作一条与线段 成 角的直线，此直线与负实轴交于 ，这就是所求 的零点，它的极点 。于是求得迟后部分的传递数为