采用FPGA实现多种类型的数字信号处理滤波器

阶跃响应

对脉冲响应进行积分所得的阶跃响应体现着滤波器的时域性能以及滤波器自身如何影响该性能。观察阶跃响应时应重点关注的三大参数分别是上升时间、过冲以及线性度。

上升时间指从振幅级的 10% 上升到 90% 所需的样本数量，可显示滤波器的速度。要在最终系统中具有实用性，滤波器必须能够区分输入信号中的不同事件，因此阶跃响应必须短于信号中各事件之间的间隔。

过冲是指滤波器添加至其正在处理的信号时产生的失真。降低阶跃响应中的过冲有助于判断信号的失真是来自系统，还是来自系统正在测量的信息。过冲不但可增大失真来源的不确定性，降低最终系统性能，而且还可导致系统无法满足所需的性能要求。

如果信号的上半部分和下半部分是对称的，则滤波器的相位响应具有线性相位，这是确保阶跃响应的上升沿和下降沿相同的要件。

优化滤波器，以在时域和频域中同时实现良好的性能是非常困难的，在这一点上它也是毫无价值的。因此，必须明白需要处理的信息位于哪一个域中。对于 FIR 滤波器而言，需要处理的信息位于频域中，因而频率响应占主导地位。

滤波器加窗

使用截断脉冲响应不能提供最佳性能数字滤波器，因为它不能展示任何理想的特性。因此设计人员可采用视窗函数来改善滤波器的通带纹波、滚降以及阻带衰减性能。对于截断正弦函数，有许多视窗函数可以使用，如高斯、巴特利特、海明、布莱克曼以及凯塞等。不过最常用的两种视窗函数是海明和布莱克曼。下面将详细介绍这两种视窗。

采用这两种视窗不但可降低通带纹波，而且还可提高滤波器的滚降和衰减性能。图 3 是采用布莱克曼和海明视窗后截断正弦函数的脉冲响应和频率响应情况。如图所示，两种视窗均可显著改善通带纹波状况。

滤波器的滚降不仅由视窗决定，而且还由滤波器的字长决定，即系数的数量，也就是常说的滤波器抽头。

海明视窗：

w[i] = 0.42 – 0.52 cos (2PI*i/N)

布莱克曼视窗：

w[i] = 0.42 – 0.52 cos (2PI*i/N)+ 0.08 cos(4PI*i/N)

方程式中 i 为 1 至 N 时，总数等于 N+1个点。

要将这些视窗应用于截断脉冲响应，必须用视窗系数乘以截断脉冲系数，得出所需的滤波器系数。

虽然视窗类型决定了滚降频率，但经验法则告诉我们，对于所需的跳变带宽，需要的抽头数量为：N=4/BW，其中 BW 为跳变带宽。

实现不同的滤波器拓扑

无论最终得到的滤波器类型是什么（是带通、带阻还是高通），所有这些都始于低通滤波器的初始设计。如果知道如何设计低通滤波器和高通滤波器，将两者相结合就可得到带阻及带通滤波器。

首先看如何将低通滤波器转化成高通滤波器。最简单的方法叫做频谱翻转，即将阻带转换为通带，将通带转换为阻带。执行频谱翻转的方法是翻转每一个样本，同时给中心样本添加一个样本。第二种转换高通滤波器的方法为频谱倒转，即镜像频谱响应，方法很简单，就是倒转每一个其它系数。

完成低通滤波器和高通滤波器的设计之后，就可通过组合便捷地生成带通滤波器和带阻滤波器。生成带阻滤波器只需将高通滤波器和低通滤波器并行布置，然后将输出加总。生成带通滤波器则可通过将低通滤波器和高通滤波器串行布置来实现。