一种分数阶微分IIR滤波器的设计方法和改进

基于Rectangular算子的分数阶微分器传输函数可以写为：

这里使用连续分数扩充(CFE)法将展开上式，实现对函数的有限阶逼近。下面列出T=0．001 s时，O．5阶微分Rectangular分数阶微分滤波器传递函数GvRn(z)：

GvRn(z)中v表示微分阶数；n表示滤波器阶数。
1．3 基于Tustin算子的IIR分数阶数字微分滤波器
Tustin算子表示为：

基于Tustin算子的分数阶微分器传输函数可以写为：

使用连续分数扩充(CFE)方法将上式展开，完成对函数的有限阶逼近。下面列出了T=0．001 s时，0．5阶微分Tustin分数阶微分滤波器传递函数GvTn(z)：

GvTn中v表示微分阶数；n表示滤波器阶数。
图2是基于典型Rectangular算子、Tustin算子和simpson算子的0．5阶微分滤波器的频率特性曲线，所实现的滤波器阶数都是5阶。从图2中可以看出3种滤波器在低频区域，幅度曲线还能与理想幅度一致，但随着频率增加，特别是在高频区域，误差迅速增大。

从图2中可以看出，基于Rectangular滤波器的幅度特性最好，但相位特性明显比另两种算子的差。Tustin的优点在于其相位特性非常好，相位曲线绝大部分区域都与理想频率响应相位曲线重合。Tustin和Sirepson有很强互补性。因为两者在低频的表现都比较好，虽然在高频都有明显误差，但两者的幅度曲线分别位于理想频率曲线的上下两侧。因此，这里认为通过这3种算子的相互结合，可以得到一种新的、频率特性更好的微分算子。

2 通过内插结合形成新分数阶微分滤波器
2．1 基于Rectangular算子和Tustin算子内插结合的分数阶微分滤波器
通过观察发现矩形(Rectangular)滤波器和梯形(Tustin)滤波器分别具有最好的幅频和相频特性，因此将这两种滤波器通过内插结合，可获得更好的近似理想积分器。
由于微分和积分的互逆性，首先推导新的积分算子HA(z)。用下标A表示结合后积分器，用下标R表示矩形积分器，用下标T表示梯形积分器，其积分算子的传输函数由Rectangular算子和Tustin算子按3：1的比率结合获得。积分器传输函数如下所示：

其零点不在单位圆内将零点z=一7映射到z=一1／7，通过乘以7对幅度进行相应补偿，获得最小相位积分器如下：

下面是T=O．001 s时，使用该算子实现0．5阶微分的IIR分数阶微分滤波器传递函数GvAn(z)：

2．2 基于Tustin算子和Simpson算子内插结合的分数阶微分滤波器
同样通过观察发现Tustin算子和Simpson算子虽然在高频都有明显误差，但两者的幅度曲线分别位于理想频率曲线的上下两侧，以期通过内插结合相互抵消，而获得性能更好的滤波器。新的积分算子HB(z)传输函数通过梯形(Tustin)算子和辛普森(Simpson)算子按2：3比例结合获得。