S波段耦合腔行波管非线性注一波互作用方程组的数值

1 基本方程
1．1 激发方程
令第n次本征模式轴向电场为：

可得扰动电子注激励的电场为：

式中：定义为n次谐波的耦合阻抗；

ψ(r⊥)为电子注横向分布函数y）ds。所有本征模中只有个别模式与电子注同步，且除了电子流i（z）激发的同步波之外，还有输入的“冷波”，即E0e-r0z，则具有外加激励源E0e-r0z的同步场为：

式中：K0，г0，β0分别为该同步模式的耦合阻抗、传播常数、相位常数。式(1)两边同时对z求导2次得到熟知的激发方程：

1．2 运动方程
相对论下电子的运动方程为：

能量守恒方程为：

式(4)代入式(3)可得一维电子运动方程：

又由：

所以式(5)可写为：

其中：Ez=Ecz(线路场)+Esz(空间电荷场)；y=(1一v2/c2)-1/2为相对论因子，c为真空中的光速，v为电子速度。
1．3 电子流复振幅方程
电子流是时间的非简谐周期函数，含有高次谐波，用傅氏分析。

2 慢变系统中归一化
上述是在实验室坐标系下得到的迅变方程，为了处理问题的方便和计算结果普遍性强，通常将其归一化到电子坐标系内，获得慢变方程。
为了表述方便，先引入迅变坐标系的归一化量：归一化距离为ξ=ω/v0z=βez；归一化时间为φ=ωt=2πt=/T，归一化场为f=|e|E/mvoω。则慢变系统中的归一化：归一化轴向距离为θ=Cξ=Cβez；归一化相位φe=ψ-ξ；归一化场幅值为Fcn(θ)=(eE／C2mvoω)ejnθ；归一化电流幅值为

式(8)～(10)组成了行波管大信号注一波互作用基本工作方程组。其中Cn3=I0Kcn/4V0为n次谐波增益参量，bn=(V0一Vpn)／C1Vpn非同步参量，dn=aon／βeCn为衰减常数，rn=bn-idn。

3 空间电荷场的计算
由文献可知z0处圆盘在z处圆盘平面上各点产生的平均空间电荷场为：

其中：Q为圆盘所带电量；6为电子注半径；a为漂移管半径，如图1所示，μ0n为零阶Bessel函数的第n个根。由此可知场是关于z的函数，可以表示为：

其中：B(| z―z0|)是以| z―z0|为变量的函数，由式(11)可以做出如图1所示曲线。