基于同伦算法的逆变电源特定消谐法的研究

解非线性方程组(4)，便得PWM波的各开关角，然后根据对称特性可以得到整个周期的各个开关角。求解该方程组，可得到一组[0，π／2]内的开关角，当然，这些开关角应满足以下条件：

0α1α2α3α4α5α6α7α8π／2
式(4)为非线性方程组，一般采用牛顿迭代法求解，但是该求解过程是否收敛与所取的初值有很大的关系。使用时由于求解非线性方程组存在较大困难以及存储脉冲相位角需要很大的存贮空间，因而在相当程度上制约了它的应用。目前该方法的应用仅限于离线控制。

3 同伦算法的建立
3．1 同伦算法
同伦方程的数值解法有2种：同伦延拓法；参数微分法。采用参数微分法将非线性方程组(4)简写为：
F(a)=0 (5)
式中，F：D∈Rn→Rn。令a*是方程组(5)的解。
非线性超越方程组(5)，一般采用牛顿迭代法求解，但该方法对初值的选取要求较为严格，即要求初始近似解a0与解a*充分靠近，才能使迭代数{ak}收敛于a*。实际计算中要找到满足要求的迭代初始值往往很困难，如果给出的初始值导致迭代不收敛，就需要重新给初始值再计算，这样就大大降低了求解速度，难以实现实时控制。为了解决这个问题，这里尝试用同伦法求解。同伦法是一种用于非线性方程组数值求解的新方法，具有全局收敛和收敛速度快等优点，其基本的思想是：对于该方程组，引人参数t，构造一族映射H，使当t为某一特定值(例如t=1)时，H就是映象F，而当t=0时，得出方程组F0(a)=0的解a0是已知的。也就是说，构造一簇映射H：D×[O，1]∈Rn+1→Rn，代替单个映射F，使H满足条件：

式中：F0(a)=0的解a0为已知，而方程H(a，1)=0就是原来的非线性方程组(5)，现在把问题变为求解同伦方程：

构造满足条件(6)的同伦H可以是各种各样的。这里，构造H(a，t)=F(a)+(t-1)F(a0)。可以证明，该同伦方程存在惟一解a=a(t)，且a(t)是微分方程式(7)的解，式(7)为：

因此，通过求解微分方程初值问题式(7)的数值解，可得到方程(5)的解。用具有二阶精度的中点求积法，得到：

式中：k=1，2，…，A-1，A为正整数。
只要F'(a)-1存在，且A足够大，可证明由式(8)求得的nA可作为式(5)的解a*的一个好的近似，再用牛顿迭代法可求得精确解。
3．2 算例
根据文中采用的模型及算法，取开关角N=8，随着基波幅值q的变化得到一组开关角的解轨迹(取UDC=1)，如图4为显示开关角aN随基波幅值q的变化，取q=0.3，q=0.5和q=0.7时得到的三组开关角的解如表3所示。