DC－DC开关变换器中混沌现象的研究综述

1 引言

从非线性动力学角度来说，开关变换器是一个强非线性时变动力学系统，因此存在着丰富的非线性现象，包括各种类型的次谐波、分叉与混沌等。由于混沌动态是一种不稳定振动，混沌现象是一种不正常不可靠的现象，混沌的不确定性将导致系统的运行状态无法预测，从而使变换器的控制性能受到极大的影响，甚至完全不能工作，所以研究开关变换器中混沌产生的方式、分析方法有助于我们在设计中避开这种不理想现象，使变换器工作于稳定的周期，这对于正确设计和调试开关变换器具有重要的指导意义。

本文对混沌的国内外研究现状作一综述，并详细介绍其分析方法。

2 混沌的基本概念

1963年，Lorenz从简化的大气模型中推导出著名的Lorenz方程，这组三阶的微分方程呈现出一种奇异的现象，即混沌现象，从此揭开了混沌学发展的新篇章。Lorenz微分方程组如下：

(1)

在这个系统中，S ，R，B是可变参数，其中任意参数的改变都可能导致系统从周期态向混沌态的转变[1]。

从Lorenz系统中研究可知，产生混沌的原因是耗散和非耗散相互作用的结果。耗散作用的整体稳定性和非线性作用的局部不稳定性作用便形成了混沌[2].而奇异吸引子是混沌的本质所在。这时候人们发现即使对于典型的可用确定论方法描述的系统来说，只要该系统稍微复杂一些，在一定条件下也会产生非周期的表面上看起来毫无规律的运动，改变了那种认为用确定论方法描述的运动都属于规则运动的错误观念。这种来自可用确定论方法描述的系统中的无规则运动，称为混沌或内在随机性。它表面上是随机运动，实际上是有一定结构的形式，而真正的随机行为出现在嘈杂系统中。混沌运动通常还具有确定性运动所没有的特征，如局部不稳定而整体稳定、无限自相似、对初值变化的高度敏感性、奇异吸引子中包含多个不稳定周期轨道、连续的功率谱等[3]。首次证明开关变换器中存在混沌的是Brockett和Wood，他们在1984年发表的一篇会议论文中指出受控的Buck 变换器可产生混沌行为[4]。1988年，Hamill和Jefferies首先对开关变换器中的混沌现象进行了理论分析[5]。而文献[6]指出由于开关变换器是强非线性离散系统，而非线性微分方程的解不是唯一的，当非线性系统的周期解处于临界状态时，它对微小的参数摄动或初始条件变化都极为敏感，就可能进入连续分频状态，最后出现混沌。

3 混沌的分析方法

Middlebrook等在1976年提出的状态空间平均法[7]是目前使用最广泛的方法。它将时变电路变成了非时变线性电路，从而可求稳态工作点、小信号传递函数等。它是简明性和准确性的一个较好的折中。但也存在着稳定性分析不准确、不能分析纹波、无法分析准谐振变换器等缺点。另外，它在连续导电模式中忽略了开关变换器频率的影响，由此而产生的线性模型中，占空比成为连续的时间变量，然而实际上占空比是定义成离散时间变量的，在一个开关周期内讨论占空比的变化是毫无意义的[8].由于所得到的是一个线性模型，忽略了开关变换器的非线性特征，因此不可能对开关变换器中的次谐波、混沌等非线性现象作出正确的分析，这些不足使得离散时间模型[9]应运而生。它保留了变换器的非线性特性，是较为准确的一种方法，一般可以得到映射的隐式表达。它的主要特点是提出采样序列的概念，而不是把开关描述成连续的，即每隔一定时间对变换器作一次采样，通常是在波峰波谷处采样更方便。开关周期内状态的变化由一映射函数描述。这个函数可能会较复杂，但一旦得到，就可以用计算机来对它进行反复迭代，从而确定变换器的状态是怎样从一个周期演变到另一个周期的。

文献[10]是基于离散时间模型的非线性迭代映射法。一般的，其状态方程可以描述为

=f(x，t)，其中x是n维状态矢量(常为电容电流或电感电压)，每一个周期对X采样(通常在波峰或波谷处)，即可得到一个离散系统。于是就得到一个{

}序列，时间就不出现在方程里了。

3.1 一维映射

对于一维映射 x——>F(x)， F是一个作用在一个实数上来产生另一个实数的函数。满足方程x*=F(x*)且在映射下保持不变的点叫F的固定点。我们的兴趣在于用这个函数将一个区域划到它自己内部。例如x—>ax(1-x)， 其中a是一个参数，0≤a≤4，这个函数就是将区间[0，1]划到它内部。若a=2，则方程变为

m=0，1，2

这是一个一阶差分方程，x的当前值仅由前一个值决定。从任一个初值

开始反复迭代就可以得到一个序列{

}.任选一个不等零的初值，序列最终收敛于x*=0.5，这个点叫做吸引性固定点。反之对于固定点x*=0，若初值不等零，而序列会偏离初值，则这个点不具有吸引性。 由上可知，固定点对系统有着重要影响。 特别的，稳定行为与吸引性固定点有关系。，那样的点叫稳定固定点。而不具有吸引性的固定点会导致混沌。

3.2 高维映射

迭代法对高维映射也适用。在n维情况下，令人关注的是n维矢量之间的关系。这时候，F作用在一个矢量上以产生另一个n维矢量。与一维映射同样，我们的兴趣在于把一个区域划到它内部，不同的是这个区域是一个n维空间.下面给一个二维例子,

(2)

其中x=

, a、b均是参数。因为必须把函数画在二维空间里,所以要看高维映射是较困难的,甚至n =2这种情况也不例外。同样，对于高维映射，满足

的矢量

即为固定点。如当 a=1.4、b=0.3时,方程(2)有两个固定点,但都不具有吸引性,因而会导致混沌。