开槽波导3次谐波回旋行波放大管非线性理论与数值模拟

　　当角向模式m和槽深(即a/b的值)确定后，截止波数kc的值可由式(10)通过数值求解方法求得［6，8，9］.

三、自洽非线性理论
　　在热腔中，高频场沿轴向呈缓变分布状况，其对横坐标(r,φ)的分布函数与冷腔情况相同.下面给出Ⅰ区中的热腔高频电场分量(TE波)表达式.

　(11)
　(12)
Ez=0　(13)

　　上述各式中，Cmn为电场归一化系数，f(z)为一复函数，代表高频场沿Z轴的缓变分布情况.Cmn的值由下式求得

　(14)

　　以下是自洽非线性注波互作用常微分方程组.
　　从洛伦兹公式
出发［8］，可推得电子在高频场(E,B)和直流磁场(B0)作用下的运动方程.每个电子有6个运动参量方程，这里仅给出了速度分量及动量空间角3个运动参量方程.

　(15)
　(16)
　(17)

　　以上各式中，m0和γ分别为电子的静止质量和相对论因子，φ为动量空间角，u=γv,v为电子的速度，如图1所示.
　　从有源麦克斯韦方程出发，经过一系列复杂的推导并对电流进行离散化后得到非线性注波互作用场方程为

　(18)

上式中，P为在一个高频场周期内所取的电子注批数，M为考虑电子注厚度因数而将电子注化分的圈数，N为每圈上所取的宏电子数，S为谐波次数.〈…〉表示对初始速度分布函数为g0(v⊥,vz)的速度空间进行平均.设电子注为单能电子注，速度零散主要来自于横纵向速度比值(V⊥/Vz)的零散，这里按正态分布规律来处理速度零散，即初始速度分布函数为

式中K为归一化常数,△vz为平均纵向速度零散，δ为狄拉克函数．
边界条件

f(z)|z=0=f(0)　(19)
(20)

式中f(0)为输入高频场电场幅值.
　　方程(15)～(18)为自洽非线性注波互作用方程组.将电子注离散为NT个宏电子，则一共有6NT+2个一阶非线性微分方程，结合边界条件(19)、(20)，利用四阶龙格库塔法对注波互作用进行数值计算，计算结果在下部分内容中给出并讨论.