三维矢量散射积分方程中奇异性的分析及求解方法介绍

其中r∈sq,Δsself∈{Δs},∑Δs=sq,Δsselfsself=sq∩sp,Δsself→0　(12)
由式(12)可知，在关于场点和源点的面积分中，被积函数包含了两项：

　(13)
　(14)

阻抗矩阵计算式(4)和(12)可分别简写为：

　(15)

和

　(16)

其中r∈sq,Δsself∈{Δs},∑Δs=sq,Δsselfsself=sq∩sp,Δsslef→0.
　　式(15)，(16)都能用来求解矩阵自阻抗元素.但式(16)对源点使用主值积分，便于数值分析.两式中，I1=I′1,I2=I′2.为方便计，选择其中的I1和I′2.

三、奇异项转移方法
　　在式(13)中，仅包含弱奇异性的Abel积分核［7］.一般来讲，对于这类积分，数值计算时只要分格越细(不取奇点)，所得的数值结果就越精确.但计算量增加.若取较少的节点，则由于被积函数在奇点附近变化剧烈，导致误差增大.所以必须寻找一种在数值计算上实际可行的方案.处理这类奇异积分的方法之一是奇异转移法［1］.本文将这种方法进行了推广，以便解决式(13)那样的奇异问题.经过简单的数学处理，得：

　(17)

在上式中，第一项被积函数在积分域是连续有限的，因此数值可积.在第二项积分中，因子f1(r,r)只与场点有关，故可提到积分号外，因此简化了奇异项以便于使用积分的解析解：

式中R0=
　(19)

四、挖除有限小块法
　　下面讨论I′2的数值积分.积分项I′2不包含奇点，其被积函数F2(r,r′)在积分域上是解析的.但在奇点r附近，由于F2(r,r′)随r′的变化非常剧烈，用一般的数值求积是很困难的.
　　用一有限小曲面块ΔS包围奇点(ΔSsp)，并设F2(r,r′)的陡变部分在ΔS中.取Δs0=ΔS-Δsself.在实际空间中，Δs0对应于一很小的曲面块，即Δs01.而在参数空间中，Δs0则为一很小的矩形块，其长为Δu1，宽为Δu2，如图1.这时I′2变为：

　(20)

式中第一项不含陡变部分，所以可用一般的数值求积方法计算.第二项不含奇点，可以得到解析结果.