分数阶Fourier变换应用于水声通信及其FPGA实现
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复数结果的新表达式是：
本文引用地址：http://www.eepw.com.cn/article/146838.htm Rr=[(Ar+Ai)×(Br-Bi)]+(Ar×Bi-Ai×Br)(3次乘法) (8)
Ri=Ar×Bi+Ai×Br(复用来自Rr的乘积) (9)
综上可知：改进的复数乘法可用3个乘法器、3个加法器和2个减法器实现。在Cyclone系列FPGA中，每个8×8位乘法器需95个逻辑单元，而每个位宽16位的加法/减法模块只需18个逻辑单元，即改进后的复数乘法器减少41个逻辑单元，降低了FPGA的资源消耗。
卷积模块
本文采用FFT运算完成卷积运算[11]。基于快速傅立叶变换的卷积计算流程如图5所示。分别对x(n)和h(n)进行FFT运算，得到对应的频域响应X(k)和H(k)，将X(k)和H(k)相乘的结果再做IFFT，即可以得到x(n)和h(n)的卷积结果y(n)。
由于进行卷积的Chirp信号已知，为了降低FPGA的资源消耗，可预先计算Chirp信号的FFT结果，并将其保存到RAM中，即可减少一次FFT硬件运算。其改进快速傅立叶变换的卷积计算流程示意图如图6。
两次FFT运算共需要2×1/2Nlog2N次相乘还有N次相乘，因此共需要相乘次数为m=N(1+lbN)。传统方法直接计算线性卷积需要n=ML次乘法。当x(n)和h(n)点数相同时，则M=L，传统直接计算方法与改进方法进行卷积计算的运算量[12]比较为：
(10)
由式(10)可知M值越大，此算法的优越性越明显。用硬件语言设计出改进快速傅立叶变换的卷积部分并生成模块，如图7所示。
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