分数阶Fourier变换应用于水声通信及其FPGA实现

　　传统4FSK参数如下：载波频率分别为f₁=4500Hz，f₂=5500Hz，f₃=6500Hz，f₄=7500Hz。

　　改进型算法参数如下：带宽1.0kHz，脉宽0.02s，信号中心频率分别为4.5kHz、5.5kHz、6.5kHz和7.5kHz，采样频率为48kHz。通过大数统计得到其误码率曲线如图3所示。　　

 

　　由图3可以知：当信噪比大于-11dB之后，4FSK调制解调方式误码率变化相对缓慢，而基于FRFT的u域调制解调方法误码率显著下降。在信噪比为-4dB时，后者的误码率接近于零。

　　基于Ozaktas采样型算法DFRFT的FPGA实现

　　基于FPGA硬件平台的改进型Ozaktas采样型算法实现流程主要分为以下两个功能模块：复数乘法器模块、卷积处理模块，其总体流程图如图4所示。　　

 

　　离散分数阶Fourier变换(DFRFT)计算需经过两次复数乘法运算和一次与Chirp信号的卷积运算来得到DFRFT的结果。计算结果通过峰值位置搜索判决找到其峰值点进而判断出其相对应的调频率和中心频率。

　　为了便于硬件的实现，减少FPGA的资源消耗，本文对复数乘法的实现进行了改进，下面具体介绍主要模块的实现过程。

　　改进复数乘法器模块

　　由图4可知本算法的实现需要两次复数乘法运算环节，因此对复数乘法的改进可提高运算效率。一般执行一次复数乘法需要4个乘法器和2个加法和减法器。本文通过代数方法重新推导公式，将复数乘法表达式重新写成另外一种只需3个乘法器、3个加法器和2个减法器的表达式。设A=Ar+jAi，B=Br+jBi是两个复数，那么复数乘法的标准表达式如下：

　　R=A×B=(Ar+jAi)×(Br+jBi)=Rr+jRi (3)

　　其中Rr=Ar×Br-Ai×Bi，Ri=Ar×Bi+Ai×Br，上述标准表达式需要使用4个乘法器。通过代数方法重新推导整理为：

　　Rr=Ar×Br-Ai×Bi (4)
　　Rr=Ar×Br-Ai×Bi+0 (5)
　　Rr=Ar×Br-Ai×Bi+(Ar×Bi-Ai×Br)-(Ar×Bi-Ai×Br) (6)
　　Rr=(Ar×Br-Ar×Bi+Ai×Br-Ai×Bi)+(Ar×Bi-Ai×Br) (7)